Question

已知：如圖，拋物線C₁：y=ax²+4ax+c的圖象開口向上，與x軸交于點(diǎn)A、B（A在B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為P，AB=2，且OA=OC．
（1）求拋物線C₁的對(duì)稱軸和函數(shù)解析式；
（2）把拋物線C₁的圖象先向右平移3個(gè)單位，再向下平移m個(gè)單位得到拋物線C₂，記頂點(diǎn)為M，并與y軸交于點(diǎn)F（0，-1），求拋物線C₂的函數(shù)解析式；
（3）在（2）的基礎(chǔ)上，點(diǎn)G是y軸上一點(diǎn)，當(dāng)△APF與△FMG相似時(shí)，求點(diǎn)G的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)配方法，可得拋物線的對(duì)稱軸，根據(jù)函數(shù)值相等的兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，可得A、B點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)配方法，可得頂點(diǎn)式函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)圖象右移減，向下平移y減，可得y=（x+2-3）²-1+m，根據(jù)自變量的值，可得相應(yīng)的函數(shù)值；
（3）分類討論：①當(dāng)△APF∽△MFG，②當(dāng)△APF∽△GFM，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得FG的長(zhǎng)，再根據(jù)點(diǎn)點(diǎn)F的坐標(biāo)，可得答案．

解答：解：（1）將拋物線C₁：y=ax²+4ax+c配方，得y=a（x+2）²-4a+c，
∴拋物線的對(duì)稱軸是x=-2，
又AB=2，點(diǎn)A、點(diǎn)B關(guān)于x=-2對(duì)稱，得

xB-xA=2 xA+xB 2 =-2

．解得

xA=-3 xB=-1

．
點(diǎn)A（-3，0），點(diǎn)B（-1，0）．
由OA=OC，得點(diǎn)C（0，3），
將A、C點(diǎn)的坐標(biāo)代入C₁得，

-3a+c=0 c=3

．
解得

a=1 c=3

．
拋物線函數(shù)解析式y(tǒng)=x²+4x+3；
（2）又（1）拋物線C₁：y=x²+4x+3配方，得y=（x+2）²-1，
拋物線C₁的圖象先向右平移3個(gè)單位，再向下平移m個(gè)單位得到拋物線C₂，得
y=（x+2-3）²-1+m．C₂與y軸交于點(diǎn)F（0，-1），得
1-1+m=-1．即m=-1．
C₂與的解析式為y=（x-1）²-2，
（3）如圖：
由勾股定理，得AP=

2

，MF=

2

．由兩點(diǎn)間的距離，得PF=2．
①當(dāng)△APF∽△MFG時(shí)，

AP

MF

=

PF

FG

，即

2

2

=

2

FG

．
解得FG=2，點(diǎn)G₁的坐標(biāo)為（0，1）；
②當(dāng)△APF∽△GFM，

AP

FG

=

PF

MF

，即

2

FG

=

2

2

，
FG=1，點(diǎn)G₂的坐標(biāo)（0，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)綜合題，（1）函數(shù)值相等的兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（2）先化成頂點(diǎn)式，再進(jìn)行平移：向右平移x減，向下平移y減；（3）利用了相似三角形的性質(zhì)，分類討論是解題關(guān)鍵．