Question

【題目】如圖，拋物線y=－ +mx+m+與x軸相交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在B的左側(cè)）與y軸相交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)D在第一象限．

（1）求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)（用m 的代數(shù)式表示）；

（2）當(dāng)60°≤∠ADB≤90°時(shí)，求m的變化范圍；

（3）當(dāng)△BCD的面積與△ABC的面積相等時(shí)，求m的值.

Answer 1

【答案】（1）D；（2）；（3）

【解析】分析：（1）運(yùn)用配方法改寫成頂點(diǎn)式，即可求出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）先將y=﹣x2+mx+m+與x軸的交點(diǎn)A與B的坐標(biāo)，得到DH，AH的長度，再由拋物線的對(duì)稱性可知當(dāng)60°≤∠ADB≤90°時(shí)，30°≤∠ADH≤45°，然后根據(jù)30°，45°角的正切函數(shù)值及銳角三角函數(shù)的增減性即可求出m的變化范圍；

（3）設(shè)DH與BC交于點(diǎn)M，則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m．先運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，則可用含m的代數(shù)式表示點(diǎn)M的坐標(biāo)，再根據(jù)S△DBC=S△ABC求出m的值．

詳解：（1）y=﹣x2+mx+m+=﹣（x﹣m）2+，∴頂點(diǎn)D（m，），即；D（m，）．

（2）過D作DH⊥x軸于H．令y=﹣x2+mx+m+=0，解得：x=﹣1或2m+1，

則與x軸的交點(diǎn)A（﹣1，0），B（2m+1，0），∴DH=，AH=m﹣（﹣1）=m+1，∴tan∠ADH==．

當(dāng)60°≤∠ADB≤90°時(shí)，由對(duì)稱性得30°≤∠ADH≤45°，∴當(dāng)∠ADH=30°時(shí)，=，∴m=2﹣1，當(dāng)∠ADH=45°時(shí)，=1，∴m=1，∴1≤m≤2﹣1；

（3）設(shè)DH與BC交于點(diǎn)M，則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m．

設(shè)過點(diǎn)B（2m+1，0），C（0，m+）的直線解析式為；y=kx+b，則，解得，即y=﹣x+m+．

當(dāng)x=m時(shí)，y=﹣m+m+=，∴M（m，），∴DM=﹣=，AB=（2m+1）﹣（﹣1）=2m+2．

又∵S△DBC=S△ABC，∴（2m+1）=（2m+2）（m+）．解得：m=－1，m=－，m=2．又∵拋物線的頂點(diǎn)D在第一象限，∴m＞0，解得：m=2．