Question

【題目】在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F分別在邊BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°.

(1)延長CB至G點(diǎn)，使得BG=DF (如圖①)，求證：△AEG≌△AEF；

(2)若直線EF與AB，AD的延長線分別交于點(diǎn)M，N(如圖②)，求證：EF2=ME2+NF2；

(3)將正方形改為長與寬不相等的矩形，若其余條件不變(如圖③)，請(qǐng)你直接寫出線段EF，BE，DF之間的數(shù)量關(guān)系.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）EF2=ME2+NF2；（3）EF2=2BE2+2DF2

【解析】分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知AF=AG，∠EAF=∠GAE=45°，故可證△AEG≌△AEF；

（2）將△ADF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABG，連結(jié)GM．由（1）知△AEG≌△AEF，則EG=EF．再由△BME、△DNF、△CEF均為等腰直角三角形，得出CE=CF，BE=BM，NF=DF，然后證明∠GME=90°，MG=NF，利用勾股定理得出EG2=ME2+MG2，等量代換即可證明EF2=ME2+NF2；

（3）將△ADF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABG，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以得到△ADF≌△ABG，則DF=BG，再證明△AEG≌△AEF，得出EG=EF，由EG=BG+BE，等量代換得到結(jié)論．

詳解：（1）∵△ADF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABG，

∴AF=AG，∠FAG=90°，

∵∠EAF=45°，

∴∠GAE=45°，

在△AGE與△AFE中，

，

∴△AGE≌△AFE（SAS）；

（2）設(shè)正方形ABCD的邊長為a．

將△ADF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△ABG，連結(jié)GM．

則△ADF≌△ABG，DF=BG．

由（1）知△AEG≌△AEF，

∴EG=EF．

∵∠CEF=45°，

∴△BME、△DNF、△CEF均為等腰直角三角形，

∴CE=CF，BE=BM，NF=DF，

∴a﹣BE=a﹣DF，

∴BE=DF，

∴BE=BM=DF=BG，

∴∠BMG=45°，

∴∠GME=45°+45°=90°，

∴EG2=ME2+MG2，

∵EG=EF，MG=BM=DF=NF，

∴EF2=ME2+NF2；

（3）EF2=2BE2+2DF2．

如圖所示，延長EF交AB延長線于M點(diǎn)，交AD延長線于N點(diǎn)，

將△ADF繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△AGH，連結(jié)HM，HE．

由（1）知△AEH≌△AEF，

則由勾股定理有（GH+BE）2+BG2=EH2，

即（GH+BE）2+（BM﹣GM）2=EH2

又∴EF=HE，DF=GH=GM，BE=BM，所以有（GH+BE）2+（BE﹣GH）2=EF2，

即2（DF2+BE2）=EF2