【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過點B(﹣1,0)、C(3,0),交y軸于點A,將線段OB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°,點B的對應(yīng)點為點M,過點A的直線與x軸交于點D(4,0).直角梯形EFGH的上底EF與線段CD重合,∠FEH=90°,EF∥HG,EF=EH=1.直角梯形EFGH從點D開始,沿射線DA方向勻速運(yùn)動,運(yùn)動的速度為1個長度單位/秒,在運(yùn)動過程中腰FG與直線AD始終重合,設(shè)運(yùn)動時間為t秒.
(1)求此拋物線的解析式;
(2)當(dāng)t為何值時,以M、O、H、E為頂點的四邊形是特殊的平行四邊形;
(3)作點A關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點A′,直線HG與對稱軸交于點K,當(dāng)t為何值時,以A、A′、G、K為頂點的四邊形為平行四邊形?請直接寫出符合條件的t值.

【答案】
(1)

解:∵拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過點B(﹣1,0)、C(3,0),

,解得a=﹣1,b=2,

∴拋物線的解析式為:y=﹣x2+2x+3.


(2)

解:在直角梯形EFGH運(yùn)動的過程中:

①四邊形MOHE構(gòu)成矩形的情形,如答圖1所示:

此時邊GH落在x軸上時,點G與點D重合.

由題意可知,EH,MO均與x軸垂直,且EH=MO=1,則此時四邊形MOHE構(gòu)成矩形.此時直角梯形EFGH平移的距離即為線段DF的長度.

過點F作FN⊥x軸于點N,則有FN=EH=1,F(xiàn)N∥y軸,

,即 ,解得DN=

在Rt△DFN中,由勾股定理得:DF= = = ,

∴t= ;

②四邊形MOHE構(gòu)成正方形的情形.

由答圖1可知,

OH=OD﹣DN﹣HN=4﹣ ﹣1= ,即OH≠MO,

所以此種情形不存在;

③四邊形MOHE構(gòu)成菱形的情形,如答圖2所示:

過點F作FN⊥x軸于點N,交GH于點T,過點H作HR⊥x軸于點R.易知FN∥y軸,RN=EF=FT=1,HR=TN.

設(shè)HR=x,則FN=FT+TN=FT+HR=1+x;

∵FN∥y軸,∴ ,即 ,解得DN= (1+x).

∴OR=OD﹣RN﹣DN=4﹣1﹣ (1+x)= x.

若四邊形MOHE構(gòu)成菱形,則OH=EH=1,

在Rt△ORH中,由勾股定理得:OR2+HR2=OH2

即:( x)2+x2=12,解得x=

∴FN=1+x= ,DN= (1+x)=

在Rt△DFN中,由勾股定理得:DF= = =3.

由此可見,四邊形MOHE構(gòu)成菱形的情形存在,此時直角梯形EFGH平移的距離即為線段DF的長度,

∴t=3.

綜上所述,當(dāng)t= s時,四邊形MOHE構(gòu)成矩形;當(dāng)t=3s時,四邊形MOHE構(gòu)成菱形


(3)

解:當(dāng)t= s或t= s時,以A、A′、G、K為頂點的四邊形為平行四邊形.

簡答如下:(注:本題并無要求寫出解題過程,以下僅作參考)

由題意可知,AA′=2.以A、A′、G、K為頂點的四邊形為平行四邊形,則GK∥AA′,且GK=AA′=2.

①當(dāng)直角梯形位于△OAD內(nèi)部時,如答圖3所示:

過點H作HS⊥y軸于點S,由對稱軸為x=1可得KS=1,∴SG=KS+GK=3.

由SG∥x軸,得 ,求得AS= ,∴OS=OA﹣AS= ,

∴FN=FT+TN=FT+OS= ,易知DN= FN=

在Rt△FND中,由勾股定理求得DF= ;

②當(dāng)直角梯形位于△OAD外部時,如答圖4所示:

設(shè)GK與y軸交于點S,則GS=SK=1,AS= ,OS=OA+AS=

過點F作FN⊥x軸,交GH于點T,則FN=FT+NT=FT+OS=

在Rt△FGT中,F(xiàn)T=1,則TG= ,F(xiàn)G=

由TG∥x軸,∴ ,解得DF=

由于在以上兩種情形中,直角梯形EFGH平移的距離均為線段DF的長度,則綜上所述,當(dāng)t= s或t= s時,以A、A′、G、K為頂點的四邊形為平行四邊形.


【解析】(1)利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式;(2)在直角梯形的平移過程中,四邊形MOHE可能構(gòu)成矩形(如答圖1所示),或菱形(如答圖2所示);本問有兩種情形,需要分類求解,注意不要漏解,而且需要排除正方形的情形;(3)本問亦有兩種情形,需要分類求解.當(dāng)直角梯形運(yùn)動到△OAD內(nèi)部的情形時,如答圖3所示;當(dāng)直角梯形運(yùn)動到△OAD外部的情形時,如答圖4所示.

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