【題目】已知:如圖,AB是⊙O的直徑,PB切⊙O于點B,PA交⊙O于點C,∠APB是平分線分別交BC,AB于點D、E,交⊙O于點F,∠A=60°,并且線段AE、BD的長是一元二次方程 x2﹣kx+2 =0的兩根(k為常數(shù)).

(1)求證:PABD=PBAE;

(2)求證:⊙O的直徑長為常數(shù)k;

(3)求tan∠FPA的值.

【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)tan∠FPA=2﹣ .

【解析】試題分析:

(1)由PB切⊙O于點B,根據(jù)弦切角定理,可得∠PBD=∠A,又由PF平分∠APB,可證得△PBD∽△PAE,然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例,證得PABD=PBAE;

(2)易證得BE=BD,又由線段AE、BD的長是一元二次方程 x2﹣kx+2=0的兩根(k為常數(shù)),即可得AE+BD=k,繼而求得AB=k,即:⊙O的直徑長為常數(shù)k;

(3)由∠A=60°,并且線段AE、BC的長是一元二次方程 x2﹣kx+2=0的兩根(k為常數(shù)),可求得AE與BD的長,繼而求得tan∠FPB的值,則可得tan∠FPA的值.

試題解析:

(1)證明:如圖,

∵PB切⊙O于點B,

∴∠PBD=∠A,

∵PF平分∠APB,

∴∠APE=∠BPD,

∴△PBD∽△PAE,

∴PB:PA=BD:AE,

∴PABD=PBAE;

(2)證明:如圖,

∵∠BED=∠A+∠EPA,∠BDE=∠PBD+∠BPD.

又∵∠PBD=∠A,∠EPA=∠BPD,

∴∠BED=∠BDE.

∴BE=BD.

∵線段AE、BD的長是一元二次方程 x2﹣kx+2=0的兩根(k為常數(shù)),

∴AE+BD=k,

∴AE+BD=AE+BE=AB=k,

即⊙O直徑為常數(shù)k.

(3)∵PB切⊙O于B點,AB為直徑.

∴∠PBA=90°.

∵∠A=60°.

∴PB=PAsin60°=PA,

又∵PABD=PBAE,

∴BD=AE,

∵線段AE、BD的長是一元二次方程 x2﹣kx+2=0的兩根(k為常數(shù)).

∴AEBD=2,

AE2=2,

解得:AE=2,BD=,

∴AB=k=AE+BD=2+,BE=BD=,

在Rt△PBA中,PB=ABtan60°=(2+)×=3+2

在Rt△PBE中,tan∠BPF===2﹣,

∵∠FPA=∠BPF,

∴tan∠FPA=2﹣

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型】填空
結(jié)束】
18

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