Question

【題目】如圖，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分線，交BC的延長線于點(diǎn)D，延長DA交△ABC的外接圓于點(diǎn)F，連接FB，F(xiàn)C．
（1）求證：∠FBC=∠FCB；
（2）已知FAFD=12，若AB是△ABC外接圓的直徑，F(xiàn)A=2，求CD的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形AFBC內(nèi)接于圓，

∴∠FBC+∠FAC=180°，

∵∠CAD+∠FAC=180°，

∴∠FBC=∠CAD，

∵AD是△ABC的外角∠EAC的平分線，

∴∠EAD=∠CAD，

∵∠EAD=∠FAB，

∴∠FAB=∠CAD，

又∵∠FAB=∠FCB，

∴∠FBC=∠FCB；

（2）解：由（1）得：∠FBC=∠FCB，

又∵∠FCB=∠FAB，

∴∠FAB=∠FBC，

∵∠BFA=∠BFD，

∴△AFB∽△BFD，

∴ ，

∴BF2=FAFD=12，

∴BF=2 ，

∵FA=2，

∴FD=6，AD=4，

∵AB為圓的直徑，

∴∠BFA=∠BCA=90°，

∴tan∠FBA= = = ，

∴∠FBA=30°，

又∵∠FDB=∠FBA=30°，

∴CD=ADcos30°=4× =2 ．

【解析】（1）由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和鄰補(bǔ)角關(guān)系證出∠FBC=∠CAD，再由角平分線和對頂角相等得出∠FAB=∠CAD，由圓周角定理得出∠FAB=∠FCB，即可得出結(jié)論；（2）由（1）得：∠FBC=∠FCB，由圓周角定理得出∠FAB=∠FBC，由公共角∠BFA=∠BFD，證出△AFB∽△BFD，得出對應(yīng)邊成比例求出BF，得出FD、AD的長，由圓周角定理得出∠BFA=∠BCA=90°，由三角函數(shù)求出∠FBA=30°，再由三角函數(shù)求出CD的長即可．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用三角形的外接圓與外心和相似三角形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握過三角形的三個頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，其圓心叫做三角形的外心；相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．