Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC，E在BC的延長線，聯(lián)結AE分別交BD、CD于點G、F，且．

（1）求證：AB//CD；

（2）若，BG=GE，求證：四邊形ABCD是菱形．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析

【解析】試題分析：

（1）由AD∥BC易得，結合可得，由此即可得到AB∥CD；

（2）結合已知和（1）中結論易得四邊形ABCD是平行四邊形，由此可得BC=AD，結合BC2=GD·BD可得，結合∠ADG=∠BDA可得△ADG∽△BDA，從而可得∠DAG=∠ABD，在證∠DAG=∠E，∠E=∠DBC，∠ABD=∠BDC即可得到∠BDC=∠DBC，從而可得BC=CD結合四邊形ABCD是平行四邊形即可得到結論了.

試題解析：

（1）∵AD∥BC，

∴，

∵,

∴，

∴AB∥CD；

（2）∵AD∥BC，AB∥CD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，

∴BC=AD，

∵BC2=GD·BD，

∴AD2=GD·BD，即，

又∵∠ADG=∠BDA，

∴△ADG∽△BDA，

∴∠DAG=∠ABD，

∵AB∥CD，

∴∠ABD=∠BDC，

∵AD∥BC，

∴∠DAG=∠E，

∵BG=GE ，

∴∠DBC=∠E，

∴∠BDC=∠DBC，

∴BC=CD ，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴平行四邊形ABCD是菱形.