Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，E、F分別在OD、OC上的動點，且DE=CF，連接DF、AE，AE的延長線交DF于點M，連接OM．

（1）求證：△ADE≌△DCF；

（2）求證：AM⊥DF；

（3）當CD=AF時，試判斷△MOF的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.（3）△MOF是等腰三角形，理由見解析.

【解析】

（1）根據(jù)DE=CF和正方形的性質(zhì)，證明△AED≌△DFC；

（2）由△AED≌△DFC得出∠EAD=∠FDC，然后利用等角代換可得出∠AMD=90°，得出了結(jié)論．

（2）利用等腰三角形三線合一得：DM=FM，再由直角三角形斜邊中線可得結(jié)論．

（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD=DC，∠ADE=∠DCF=45°

在△AED和△DFC中，

，

∴△AED≌△DFC（SAS）；

（2）由①中△AED≌△DFC，

∴∠EAD=∠FDC，

∵∠ADM+∠FDC=90°，

∴∠ADM+∠EAD=90°，

∴∠AMD=90°，

∴AM⊥DF；

（3）△MOF是等腰三角形，

理由是：∵AD=CD，CD=AF

∴AD=AF

∵AM⊥DF，

∴DM=FM，

∵∠DOF=90°，

∴OM=DF=FM，

∴△MOF是等腰三角形．