Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過A（-1，0）、B（3，0）、C（0，）．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）若點Q在拋物線的對稱軸上，點P在拋物線上，若以O、B、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求所有滿足條件的點P的坐標；
（3）請在拋物線對稱軸上求點M，使得∠BMC=90°．

Answer 1

【答案】分析：（1）將A、B、C三點的坐標代入，利用待定系數(shù)法求解即可得出函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)點Q在函數(shù)的對稱軸上，可得點Q的橫坐標為1，再由PQ=OB，可得出點P的橫坐標，結合函數(shù)解析式可得出點P的坐標．
（3）設點M的坐標為（1，y），然后在RT△BMC中利用勾股定理，MC²+MB²=BC²，然后解出y的值即可得出點M的坐標．
解答：解：（1）將點A（-1，0）、B（3，0）、C（0，）代入可得：，
解得：，
故函數(shù)解析式為：y=x²-x-；

（2）∵以O、B、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，
∴OB=PQ，
又∵OB=3，點Q的橫坐標為1，
∴點P的橫坐標為：4或-2，
當點P的橫坐標為4時，則可得點P的縱坐標為：×4²-4-=；
故此時點P的坐標為：（4，）；
當點P的橫坐標為-2時，則可得點P的縱坐標為：×（-2）²+2-=；
故此時點P的坐標為：（-2，）．
當P點在（2，-1.5）時，Q點坐標為（1，1.5），也符合題意，
綜上可得點P的坐標為：（4，），（1，1.5），（2，-1.5）．

（3）∵點B坐標為（3，0），點C坐標為（0，-），
∴BC=，
設點M的坐標為（1，y），則可得MB²=（1-3）²+（y-0）²，MC²=（1-0）²+（y+）²，
∵∠BMC=90°，
∴MC²+MB²=BC²，即4+y²+1+（y+）²=，
整理得：2y²+3y-4=0，
解得：y=或y=，
故可得點M的坐標為（1，）或（1，）．
點評：此題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及了兩點間的距離、待定系數(shù)法的運用、及平行四邊形的性質，難點在第二、第三問，關鍵是將所學的基礎知識系統(tǒng)化，達到融會貫通的層次．