Question

【題目】如圖①，在ABCD中，AB=13，BC=50，BC邊上的高為12．點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿B﹣A﹣D﹣A運(yùn)動(dòng)，沿B﹣A運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度為每秒13個(gè)單位長(zhǎng)度，沿A﹣D﹣A運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度為每秒8個(gè)單位長(zhǎng)度．點(diǎn)Q從點(diǎn) B出發(fā)沿BC方向運(yùn)動(dòng)，速度為每秒5個(gè)單位長(zhǎng)度．P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）．連結(jié)PQ．

（1）當(dāng)點(diǎn)P沿A﹣D﹣A運(yùn)動(dòng)時(shí)，求AP的長(zhǎng)（用含t的代數(shù)式表示）．

（2）連結(jié)AQ，在點(diǎn)P沿B﹣A﹣D運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B、點(diǎn)A不重合時(shí)，記△APQ的面積為S．求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．

（3）過點(diǎn)Q作QR∥AB，交AD于點(diǎn)R，連結(jié)BR，如圖②．在點(diǎn)P沿B﹣A﹣D運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)線段PQ掃過的圖形（陰影部分）被線段BR分成面積相等的兩部分時(shí)t的值．

（4）設(shè)點(diǎn)C、D關(guān)于直線PQ的對(duì)稱點(diǎn)分別為C′、D′，直接寫出C′D′∥BC時(shí)t的值．

Answer 1

【答案】（1）108﹣8t。

（2）。

（3）當(dāng)t=1或時(shí)，線段PQ掃過的圖形（陰影部分）被線段BR分成面積相等的兩部分。

（4）當(dāng)t=7，t=，t=時(shí)，點(diǎn)C、D關(guān)于直線PQ的對(duì)稱點(diǎn)分別為C′、D′，且C′D′∥BC。

【解析】

試題（1）分情況討論：當(dāng)點(diǎn)P沿A﹣D運(yùn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P沿D﹣A運(yùn)動(dòng)時(shí)分別可以表示出AP的值。

當(dāng)點(diǎn)P沿A﹣D運(yùn)動(dòng)時(shí)，AP=8（t﹣1）=8t﹣8；

當(dāng)點(diǎn)P沿D﹣A運(yùn)動(dòng)時(shí)，AP=50×2﹣8（t﹣1）=108﹣8t。

（2）分類討論：當(dāng)0＜t＜1時(shí)，當(dāng)1＜t＜時(shí)，根據(jù)三角形的面積公式分別求出S與t的函數(shù)關(guān)系式。

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，BP=AB，t=1。

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)，AP=AD，8t﹣8=50，t=。

當(dāng)0＜t＜1時(shí)，如圖，

作過點(diǎn)Q作QE⊥AB于點(diǎn)E，

S△ABQ=，

即。

∴。

∴S=。

當(dāng)1＜t≤時(shí)，如圖，

S=。

綜上所述， 。

（3）分類討論：當(dāng)0＜t＜1時(shí)，當(dāng)1＜t＜時(shí)，當(dāng)＜t＜時(shí)，利用三角形的面積相等建立方程求出其解即可。

點(diǎn)P與點(diǎn)R重合時(shí)，AP=BQ，8t﹣8=5t，t=。

當(dāng)0＜t≤1時(shí)，如圖，

∵S△BPM=S△BQM，∴PM=QM。

∵AB∥QR，

∴∠PBM=∠QRM，∠BPM=∠MQR。

在△BPM和△RQM中，，

∴△BPM≌△RQM（AAS）。∴BP=RQ。

∵RQ=AB，∴BP=AB。

∴13t=13，解得：t=1。

當(dāng)1＜t≤時(shí)，如圖，

∵BR平分陰影部分面積，∴P與點(diǎn)R重合。

∴t=。

當(dāng)＜t≤時(shí)，如圖，

∵S△ABR=S△QBR，∴S△ABR＜S四邊形BQPR。

∴BR不能把四邊形ABQP分成面積相等的兩部分。

（4）分類討論：

當(dāng)P在A﹣D之間或D﹣A之間，C′D′在BC上方且C′D′∥BC時(shí)，如圖，

∴∠C′OQ=∠OQC。

∵△C′OQ≌△COQ，∴∠C′OQ=∠COQ。

∴∠CQO=∠COQ。∴QC=OC。

∴50﹣5t=50﹣8（t﹣1）+13，

或50﹣5t=8（t﹣1）﹣50+13，

解得：t=7或t=。

當(dāng)P在A﹣D之間或D﹣A之間，C′D′在BC下方且C′D′∥BC時(shí)，如圖，

同理由菱形的性質(zhì)可以得出：OD=PD。

∴50﹣5t+13=50﹣8（t﹣1），

或50﹣5t+13=50﹣（108﹣8t）。

50﹣5t+13=50﹣8（t﹣1）無解；

由50﹣5t+13=50﹣（108﹣8t）解得：t=。

綜上所述，當(dāng)t=7，t=，t=時(shí)，點(diǎn)C、D關(guān)于直線PQ的對(duì)稱點(diǎn)分別為C′、D′，且C′D′∥BC。