【題目】如圖,⊙O是△ABC的外接圓,點O在BC邊上,∠BAC的平分線交⊙O于點D,連接BD、CD,過點D作BC的平行線與AC的延長線相交于點P.
(1)求證:PD是⊙O的切線;
(2)求證:ABCP=BDCD;
(3)當(dāng)AB=5cm,AC=12cm時,求線段PC的長.
【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)PC=.
【解析】
(1)連接OD,證明OD⊥PD即可.
(2)先判斷出∠BAD=∠PDC,再判斷出∠ABD=∠PCD,即可得出結(jié)論;
(3)利用勾股定理求出BC,BD,CD,再利用(2)中結(jié)論即可解決問題.
(1)證明:連接OD.
∵∠BAD=∠CAD,
∴,
∴∠BOD=∠COD=90°,
∵BC∥PA,
∴∠ODP=∠BOD=90°,
∴OD⊥PA,
∴PD是⊙O的切線.
(2)證明:∵BC∥PD,
∴∠PDC=∠BCD.
∵∠BCD=∠BAD,
∴∠BAD=∠PDC,
∵∠ABD+∠ACD=180°,∠ACD+∠PCD=180°,
∴∠ABD=∠PCD,
∴△BAD∽△CDP,
∴,
∴ABCP=BDCD.
(3)解:∵BC是直徑,
∴∠BAC=∠BDC=90°,
∵AB=5,AC=12,
∴BC==13,
∴BD=CD=,
∵ABCP=BDCD.
∴PC=.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,線段AC=n+1(其中n為正整數(shù)),點B在線段AC上,在線段AC同側(cè)作正方形ABMN及正方形BCEF,連接AM、ME、EA得到△AME.當(dāng)AB=1時,△AME的面積記為S1;當(dāng)AB=2時,△AME的面積記為S2;當(dāng)AB=3時,△AME的面積記為
S3;則S3﹣S2= .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=,AC=2,過點B作直線m∥AC,將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到△A′B′C(點A,B的對應(yīng)點分別為A',B′),射線CA′,CB′分別交直線m于點P,Q.
(1)如圖1,當(dāng)P與A′重合時,求∠ACA′的度數(shù);
(2)如圖2,設(shè)A′B′與BC的交點為M,當(dāng)M為A′B′的中點時,求線段PQ的長;
(3)在旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng)點P,Q分別在CA′,CB′的延長線上時,試探究四邊形PA'B′Q的面積是否存在最小值.若存在,求出四邊形PA′B′Q的最小面積;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點 A,B,C,D 依次在同一條直線上,點 E,F 分別在直線 AD 的兩側(cè),已知 BE//CF,∠A=∠D,AE=DF.
(1)求證:四邊形 BFCE 是平行四邊形.
(2)若 AD=10,EC=3,∠EBD=60°,當(dāng)四邊形 BFCE是菱形時,求 AB 的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,平面直角坐標(biāo)系中,點O為坐標(biāo)原點,拋物線交x軸于A、B兩點在B的左邊,交y軸于C,直線經(jīng)過B、C兩點.
求拋物線的解析式;
為直線BC下方的拋物線上一點,軸交BC于D點,過D作于E點設(shè),求m的最大值及此時P點坐標(biāo);
探究是否存在第一象限的拋物線上一點M,以及y軸正半軸上一點N,使得,且若存在,求出M、N兩點坐標(biāo);否則,說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程x2-4x-m2=0
(1)求證:該方程有兩個不等的實根;
(2)若該方程的兩實根x1、x2滿足x1+2x2=9,求m的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點(1,0)和點(0,3).
(1)求此拋物線的解析式及頂點坐標(biāo);
(2)當(dāng)自變量x滿足﹣1≤x≤3時,求函數(shù)值y的取值范圍;
(3)將此拋物線沿x軸平移m個單位后,當(dāng)自變量x滿足1≤x≤5時,y的最小值為5,求m的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】問題發(fā)現(xiàn):
()如圖①,中,,,,點是邊上任意一點,則的最小值為__________.
()如圖②,矩形中,,,點、點分別在、上,求的最小值.
()如圖③,矩形中,,,點是邊上一點,且,點是邊上的任意一點,把沿翻折,點的對應(yīng)點為點,連接、,四邊形的面積是否存在最小值,若存在,求這個最小值及此時的長度;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:AD是△ABC的高,且BD=CD.
(1)如圖1,求證:∠BAD=∠CAD;
(2)如圖2,點E在AD上,連接BE,將△ABE沿BE折疊得到△A′BE,A′B與AC相交于點F,若BE=BC,求∠BFC的大。
(3)如圖3,在(2)的條件下,連接EF,過點C作CG⊥EF,交EF的延長線于點G,若BF=10,EG=6,求線段CF的長.
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