Question

【題目】如圖，二次函數(shù)y＝（x﹣3）2+m的圖象與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B是點(diǎn)C關(guān)于該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，已知一次函數(shù)y＝kx+b的圖象經(jīng)過(guò)該二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)A（1，0）及點(diǎn)B．

（1）求二次函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；

（2）拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使S△ABP＝S△ABC？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=（x﹣3）2﹣4；y=x﹣1；（2）存在，P點(diǎn)坐標(biāo)為（3，﹣4）或（4，﹣3）或（7，12）．

【解析】

（1）先將點(diǎn)A（1，0）代入y=（x﹣3）2+m求出m的值，根據(jù)點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)性確定B點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式；

（2）假設(shè)存在點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P（a，a2﹣6a+5），根據(jù)三角形ABP面積為三角形ABC面積，由兩三角形都以AB為底邊，得到C到直線AB的距離為P到直線AB距離相等，利用點(diǎn)到直線的距離公式列出關(guān)于a的方程，求出方程的解得到a的值，即可確定出滿足題意P的坐標(biāo)．

（1）將點(diǎn)A（1，0）代入y=（x﹣3）2+m得（1﹣3）2+m=0，解得：m=﹣4．

所以二次函數(shù)解析式為y=（x﹣3）2﹣4，即y=x2﹣6x+5；

當(dāng)x=0時(shí)，y=9﹣4=5，所以C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，5），由于C和B關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，而拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=3，所以B點(diǎn)坐標(biāo)為（6，5），將A（1，0）、B（6，5）代入y=kx+b得：，解得：．

所以一次函數(shù)解析式為y=x﹣1；

（2）假設(shè)存在點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P（a，a2﹣6a+5）．

∵S△ABP=S△ABC，∴C到直線AB的距離為P到直線AB距離相等，∴，即﹣a2+7a﹣6=6或﹣a2+7a﹣6=﹣6，解得：a=3，a=4或a=0（舍去），a=7，則a2﹣6a+5=﹣4或﹣3或12，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（3，﹣4）或（4，﹣3）或（7，12）．