Question

如圖，⊙O的半徑為5cm，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，過點C的直線與AB的延長線交于點P，AC=PC，∠COB=2∠PCB．
（1）求證：PC是⊙O的切線；
（2）求線段BC的長度．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，得到∠ACB=90°，又∠COB=2∠PCB，∠COB=2∠AOC，等量代換得到∠OCP=90°，證明PC是⊙O的切線．
（2）在直角△ABC中，由AC=PC，∠COB=2∠A，以及（1）的結(jié)論得到∠A=30°，然后求出線段BC的長度．
解答：（1）證明：在⊙O中，∠COB=2∠CAB，OA=OC，
∵OA=OC，
∴∠CAB=∠ACO，
∴∠COB=2∠ACO，
又∵∠COB=2∠PCB，
∴∠PCB=∠ACO，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
即∠ACO+∠OCB=90°，
∴∠PCB+∠OCB=90°，即∠OCP=90°，
∴OC⊥CP，
∴PC是⊙O的切線；

（2）解：∵⊙O的半徑為5cm，AB是⊙O的直徑，
∴AB=10cm，
∵AC=PC，
∴∠A=∠P，
∵∠COB=2∠A，
∴∠COB=2∠P
又∵∠OCP=90°，
∴∠COB+∠P=90°，
∴∠P=30°，
∴∠A=30°，
又∵∠ACB=90°，
∴CB=AB=5cm．
點評：本題考查的是切線的判定，（1）根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，以及題目中所給出的角度的關系，可以得到∠OCP=90°，證明PC是⊙O的切線．（2）在直角三角形中，利用30°角所對的直角邊是斜邊的一半可以求出線段BC的長．