Question

如圖，將直角梯形ABCD置于直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A和點(diǎn)C分別在x軸和y軸的正半軸上，點(diǎn)D和坐標(biāo)原點(diǎn)O重合．已知：BC∥AD，BC=2，AD=AB=5，M（7，1），點(diǎn)P從點(diǎn)M出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度水平向左平移，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)A沿AB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B移動(dòng)，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）直接寫出點(diǎn)Q和點(diǎn)P的坐標(biāo)（用t的代數(shù)式表示）．
（2）以點(diǎn)P為圓心，t個(gè)單位長(zhǎng)度為半徑畫(huà)圓．
①當(dāng)⊙P與直線AB第一次相切時(shí)，求出點(diǎn)P坐標(biāo)，并判斷此時(shí)⊙P與x軸的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．
②設(shè)⊙P與直線MP交于E、F（E左F右）兩點(diǎn)，當(dāng)△QEF為直角三角形時(shí)，求t的值．

Answer 1

分析：（1）點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是1，橫坐標(biāo)即為點(diǎn)M的橫坐標(biāo)減去運(yùn)動(dòng)的路程；點(diǎn)Q的坐標(biāo)運(yùn)用解直角三角形的知識(shí)求解；
（2）①根據(jù)直線和圓相切，則圓心到直線的距離等于半徑可以求得t的值，再進(jìn)一步判斷此時(shí)⊙P與x軸的位置關(guān)系；
②分別表示點(diǎn)E和點(diǎn)F的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理的逆定理求解即可．

解答：解：（1）點(diǎn)P（7-2t，1），Q（5-

3

5

t，

4

5

t）；


（2）①當(dāng)⊙P與直線AB第一次相切時(shí)，則點(diǎn)P到直線AB的距離

4

5

（7-2t-5+

3

5

t）=t，
解得t=

40

53

，
則點(diǎn)P（

291

53

，1），
此時(shí)⊙P與x軸相離；


②根據(jù)題意，得E（7-3t，1），F(xiàn)（7-t，1）．
要使△QEF為直角三角形，
①若EF是斜邊：
根據(jù)勾股定理，得（2-

12

5

t）²+2（1-

4

5

t）²+（2-

2

5

t）²=4t²，
解得t=

18± 114

8

．
②若QE是斜邊：（

2t

5

-4）²+4t²=（

12

5

t-4）²，解得t=

5

6

；
③若QF是斜邊：4t²+（

12t

5

-4）²=（

2t

5

-4）²，解得t=5．

點(diǎn)評(píng)：此題綜合運(yùn)用了直角梯形的性質(zhì)、解直角三角形的知識(shí)、直線和圓的位置關(guān)系與數(shù)量之間的聯(lián)系等，綜合性較強(qiáng)．