【題目】如圖,已知:直線交x軸于點A,交y軸于點B,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A、B、C(1,0)三點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)若點D的坐標(biāo)為(-1,0),在直線上有一點P,使ΔABO與ΔADP相似,求出點P的坐標(biāo);
(3)在(2)的條件下,在x軸下方的拋物線上,是否存在點E,使ΔADE的面積等于四邊形APCE的面積?如果存在,請求出點E的坐標(biāo);如果不存在,請說明理由.
【答案】(1);(2)(1,2),;(3)不存在,理由見解析.
【解析】
解:(1):由題意得,A(3,0),B(0,3)
∵拋物線經(jīng)過A、B、C三點,∴把A(3,0),B(0,3),C(1,0)三點分別代入得方程組
解得:
∴拋物線的解析式為
(2)由題意可得:△ABO為等腰三角形,如圖所示,
若△ABO∽△AP1D,則
∴DP1=AD=4
∴P1
若△ABO∽△ADP2 ,過點P2作P2 M⊥x軸于M,AD=4
∵△ABO為等腰三角形, ∴△ADP2是等腰三角形,由三線合一可得:DM=AM=2= P2M,即點M與點C重合
∴P2(1,2)
(3)如圖設(shè)點E,則
①當(dāng)P1(-1,4)時,
S四邊形AP1CE=S三角形ACP1+S三角形ACE
=
∴∴
∵點E在x軸下方 ∴
代入得:,即
∵△=(-4)2-4×7=-12<0
∴此方程無解
②當(dāng)P2(1,2)時,S四邊形AP2CE=S三角形ACP2+S三角形ACE=
∴∴
∵點E在x軸下方 ∴代入得:
即,∵△=(-4)2-4×5=-4<0
∴此方程無解
綜上所述,在x軸下方的拋物線上不存在這樣的點E.
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【題目】在長方形ABCD中,AB=3,BC=4,動點P從點A開始按A→B→C→D的方向運動到點D.如圖,設(shè)動點P所經(jīng)過的路程為x,△APD的面積為y.(當(dāng)點P與點A或D重合時,y=0)
(1)寫出y與x之間的函數(shù)解析式;
(2)畫出此函數(shù)的圖象.
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【題目】我們定義:有一組鄰邊相等且有一組對角互補的凸四邊形叫做等補四邊形
(1)概念理解
①根據(jù)上述定義舉一個等補四邊形的例子:
②如圖1,四邊形ABCD中,對角線BD平分∠ABC,∠A+∠C=180°,求證:四邊形ABCD是等補四邊形
(2)性質(zhì)探究:
③小明在探究時發(fā)現(xiàn),由于等補四邊形有一組對角互補,可得等補四邊形的四個頂點共圓,如圖2,等補四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,AB=AD,則∠ACD ∠ACB(填“>”“<”或“=“);
④若將兩條相等的鄰邊叫做等補四邊形的“等邊”,等邊所夾的角叫做“等邊角”,它所對的角叫做“等邊補角”連接它們頂點的對角線叫做“等補對角線”,請用語言表述③中結(jié)論:
(3)問題解決
在等補四邊形ABCD中,AB=BC=2,等邊角∠ABC=120°,等補對角線BD與等邊垂直,求CD的長.
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【題目】已知二次函數(shù)L與y軸交于點C(0,3),且過點(1,0),(3,0).
(1)求二次函數(shù)L的解析式及頂點H的坐標(biāo)
(2)已知x軸上的某點M(t,0);若拋物線L關(guān)于點M對稱的新拋物線為L′,且點C、H的對應(yīng)點分別為C′,H′;試說明四邊形CHC′H′為平行四邊形.
(3)若平行四邊形的邊與某一條對角線互相垂直時,稱這種平行四邊形為“和諧四邊形”;在(2)的條件下,當(dāng)平行四邊形CHC′H′為“和諧四邊形”時,求t的值.
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【題目】如圖,在△ABC中,∠BAC=90°,E為邊BC上的點,且AB=AE,D為線段BE的中點,過點E作EF⊥AE,過點A作AF∥BC,且AF、EF相交于點F.
(1)求證:∠C=∠BAD;
(2)求證:AC=EF.
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【題目】如圖,將1、、三個數(shù)按圖中方式排列,若規(guī)定表示第排第列的數(shù),則與表示的兩個數(shù)的積是( )
A.B.C.D.1
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線與x軸交于、B兩點,與y軸交點C的坐標(biāo)為,為拋物線頂點,連結(jié)AD,點M為線段AD上動點(不含端點),BM與y軸交于點N.
(1)求拋物線解析式;
(2)是否存在點M使得與相似,若存在請求出點M的坐標(biāo),若不存在,請說明理由;
(3)求當(dāng)BM將四邊形ABCM分為面積相等的兩部分時ON的長度.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線與x軸交于點,與軸交于點,拋物線經(jīng)過兩點且與x軸的負(fù)半軸交于點.
求該拋物線的解析式;
若點為直線上方拋物線上的一個動點,當(dāng)時,求點的坐標(biāo);
已知分別是直線和拋物線上的動點,當(dāng)為頂點的四邊形是平行四邊形時,直接寫出所有符合條件的點的坐標(biāo).
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【題目】某公司生產(chǎn)的一種產(chǎn)品按照質(zhì)量由高到低分為A,B,C,D四級,為了增加產(chǎn)量、提高質(zhì)量,該公司改進了一次生產(chǎn)工藝,使得生產(chǎn)總量增加了一倍.為了解新生產(chǎn)工藝的效果,對改進生產(chǎn)工藝前、后的四級產(chǎn)品的占比情況進行了統(tǒng)計,繪制了如下扇形圖:
根據(jù)以上信息,下列推斷合理的是( )
A.改進生產(chǎn)工藝后,A級產(chǎn)品的數(shù)量沒有變化
B.改進生產(chǎn)工藝后,B級產(chǎn)品的數(shù)量增加了不到一倍
C.改進生產(chǎn)工藝后,C級產(chǎn)品的數(shù)量減少
D.改進生產(chǎn)工藝后,D級產(chǎn)品的數(shù)量減少
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