Question

【題目】類比等腰三角形的定義，我們定義：有三條邊相等的凸四邊形叫做“準等邊四邊形”

（1）已知：如圖1，在“準等邊四邊形”ABCD中，BC≠AB，BD⊥CD，AB＝3，BD＝4，求BC的長；

（2）在探究性質時，小明發(fā)現(xiàn)一個結論：對角線互相垂直的“準等邊四邊形”是菱形．請你判斷此結論是否正確，若正確，請說明理由；若不正確，請舉出反例；

（3）如圖2，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BC＝2．在AB的垂直平分線上是否存在點P使得以A，B，C，P為頂點的四邊形為“準等邊四邊形”？若存在，請求出該“準等邊四邊形”的面積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）BC=5；（2）正確，理由見解析；（3）存在四種情況，或+1或+1或。

【解析】

（1）根據勾股定理計算BC的長；

（2）正確，根據對角線互相垂直平分的四邊形是菱形可得結論；

（3）有四種情況：作輔助線，將四邊形分成兩個三角形和一個四邊形或兩個三角形，相加可得結論．

解：（1）如圖1，Rt△ACB中，∵BD＝4，CD＝AB＝3，

∴BC＝＝5，

（2）正確，理由是：

如圖3，AB＝AD＝BC，AC⊥BD，

∴AO＝OC，OB＝OD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB＝BC，

∴ABCD是菱形；

（3）存在四種情況，

①如圖2，四邊形ABPC是“準等邊四邊形”，過C作CF⊥PE于F，則∠CFE＝90°，

∵EP是AB的垂直平分線，

∴∠AEF＝∠A＝90°，

∴四邊形AEFC是矩形，

Rt△ABC中，BC＝2，AC＝BC，

∴AC＝BC＝，

∴CF＝AE＝BE＝，

∵AB＝PC＝，

∴PF＝＝，

∴S四邊形ABPC＝S△BEP+S矩形AEFC+S△CFP，

＝，

＝，

＝．

②如圖4，四邊形APBC是“準等邊四邊形”，

∵AP＝BP＝AC＝＝AB，

∴△ABP是等邊三角形，

∴S四邊形ACBP＝S△APB+S△ABC＝+＝+1；

③如圖5，四邊形ACBP是“準等邊四邊形”，

∵AP＝BP＝BC＝2，

∵PE是AB的垂直平分線，

∴PD⊥AB，E是AB的中點，

∴BE＝AB＝，

∴PE＝＝＝，

∴S四邊形ACBP＝S△APB+S△ABC＝＝+1；

④如圖6，四邊形ABPC是“準等邊四邊形”，過P作PF⊥AC于F，連接AP，

∵AB＝AC＝PB＝，

∴PE＝，

S四邊形ABPC＝S△APB+S△APC＝．