Question

如圖，已知等腰△ABC中，AB=AC=2，點D在邊BC的反向延長線上，且DB=3，點E在邊BC的延長線上，且∠EAC=∠D，設AD=x，BC=y．
（1）求線段CE的長；
（2）求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域；
（3）當AC平分∠BAE時，求線段AD的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及條件得出△DBA∽△ACE，就可以得出，從而得出結(jié)論；
（2）由△DBA∽△ACE可以得出，進而可以求出AE，再根據(jù)△EAC∽△EDA可以得出再由條件就可以求出解析式，根據(jù)三角形的三邊關系就可以求出自變量的取值范圍；
（3）根據(jù)條件求得△CAB∽△CDA，就可以得出，從而得出，再將y的值代入就可以求出x的值．
解答：解（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ABD=∠ACE．
∵∠EAC=∠D，
∴△DBA∽△ACE，
∴，
∵AB=AC=2，DB=3
∴∴；

（2）∵△DBA∽△ACE，
∴，
∵AD=x，AB=2，CE=，
∴．
∵∠EAC=∠D，∠E=∠E，
∴△EAC∽△EDA，
∴．
∵BC=y，
∴，
∴，
∴．
根據(jù)三角形的三邊關系可以得出：
0＜y＜4，
∴，
∴．

（3）∵AC平分∠BAE，
∴∠EAC=∠CAB．
∵∠EAC=∠D，
∴∠CAB=∠D．
∵∠ACB=∠ACB，
∴△CAB∽△CDA，
∴，
∴，
即，
解得x₁=4，x₂=-1（舍去），
即AD=4．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)的運用，角平分線的性質(zhì)的運用，相似三角形的性質(zhì)求函數(shù)的解析式的運用，三角形的三邊關系確定自變量的取值范圍的運用，在解答者中運用角的關系求三角形相似是關�。�