Question

【題目】在矩形紙片ABCD中，AB=6，BC=8，

（1）將矩形紙片沿BD折疊，點A落在點E處（如圖①），設(shè)DE與BC相交于點F，試說明△DBF是等腰三角形，并求出其周長．

（2）將矩形紙片折疊，使點B與點D重合（如圖②），求折痕GH的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析，周長；（2）

【解析】

（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)可得∠ADB=∠EDB，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠ADB=∠DBC，然后求出∠FBD=∠FDB，根據(jù)等角對等邊可得BF=DF，設(shè)BF=x，表示出CF，在Rt△CDF中，利用勾股定理列出方程求出BF的長度，再求出周長；

（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)可得DH=BH，設(shè)BH=DH=x，表示出CH，然后在Rt△CDH中，利用勾股定理列出方程求出x，再連接BD、BG，根據(jù)翻折的性質(zhì)可得．

(1)由折疊得，∠ADB=∠EDB，

在矩形ABCD中：∠C=90°，CD=AB=6,AD∥BC，

∴∠ADB=∠DBC，

∴∠FBD=∠FDB，

∴BF=DF，

設(shè)BF=x，則CF=8x，
在Rt△CDF中，

即
解得

∴

在Rt△BCD中：∠C=90°，CD=6，BC=8，

∴

∴△DBF的周長是：BF+DF+DB =

(2)由折疊得，DH=BH，設(shè)BH=DH=x，則CH=8x，

在Rt△CDH中，
即
解得

連接BD、BG，

由翻折的性質(zhì)可得，BG=DG，∠BHG=∠DHG，
∵矩形ABCD的邊AD∥BC，
∴∠BHG=∠DGH，

∴∠DHG=∠DGH，

∴DH=DG，

∴BH=DH=DG=BG，

∴四邊形BHDG是菱形，

在Rt△BCD中：∠C=90°，CD=6，BC=8，

∴

∴S菱形BHDG=BDGH=BHCD，

即×10GH= ×6，

解得GH= ．