【題目】如圖,△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于D,E是AC邊上一點(diǎn),⊙O過(guò)B、D、E三點(diǎn),分別交AC、AB于點(diǎn)F、G,連接EG、BF分別與AD交于點(diǎn)M、N;
(1)求證:∠AMG=∠BND;
(2)若點(diǎn)E為AC的中點(diǎn),求證:BF=BC;
(3)在(2)的條件下,作EH⊥EG交AD于點(diǎn)H,若EH=EG=4,過(guò)點(diǎn)G作GK⊥BF于點(diǎn)K,點(diǎn)P在線段GK上,點(diǎn)Q在線段BK上,連接BP、GQ,若∠KGQ=2∠GBP,GQ=15,求GP的長(zhǎng)度.
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)見(jiàn)解析;(3)
【解析】
(1)根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和補(bǔ)角的性質(zhì)可證∠BFE=∠AGE,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可證∠AMG=∠ANF,進(jìn)而可得結(jié)論;
(2)連接DE,可證出BD=CD,可得∠FBC=∠BAC,證出∠BFC=∠ABC=∠C,結(jié)論得證;
(3)取AB中點(diǎn)P,連接MH、GH、DE,可得平行四邊形BDEM、等邊△MHE,可得出∠GAH=∠GHA=15°,求出GA=GH=EH=,求出AE=,可求出AB和BG長(zhǎng),Rt△BGK中,可得∠GBK=45°,求出GK=BK=,Rt△QGK中勾股定理可得QK=,延長(zhǎng)BK到T使KT=PK,連接GK則△BKP≌△GKT,得出∠KGT=∠KBP,可得QG=QT=15,則PK可求出,GP=GK﹣PK=.
(1)證明:∵AB=AC,AD⊥BC,
∴∠BAD=∠CAD,
∵四邊形BFEG內(nèi)接于⊙O,
∴∠BGE+∠BFE=180°
∵∠BGE+∠AGE=180°,
∴∠BFE=∠AGE,
∵△AGM中,∠BAD+∠AGE+∠AMG=180°,
△ANF中,∠CAD+∠BFE+∠ANF=180°,
∴∠AMG=∠ANF,
∵∠ANF=∠BND,
∴∠AMG=∠BND;
(2)證明:如圖,連接DE,
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴BD=CD,
∵AE=CE,
∴DE是△ABC的中位線,
∴DE∥AB,
∴∠DEC=∠BAC,
∵∠DEC=∠FBC,
∴∠FBC=∠BAC,
∵∠C=∠C,
∴△ABC∽△BFC,
∴∠ABC=∠BFC.
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C,
∴∠BFC=∠ABC=∠C,
∴BF=BC;
(3)解:如圖,取AB中點(diǎn)M,連接MH、ME、DE,
∵AE=CE,AM=BM,
∴ME是△ABC的中位線,
∴ME∥BD,
∴∠GME=∠ABC,
∵∠ABC=∠C,∠C=∠EDC=∠BGE,
∴∠MGE=∠GME,
∴GE=ME,
∵M(jìn)H=ME,EH=EG,
∴△MHE是等邊三角形,
∵AD垂直平分BC,
∴AH垂直平分ME,
∴∠GAH=∠GHA=15°,
∴在△AGE中,AE=,
∴AB=AC=,
∴BG=AB﹣AG=,
∵Rt△BGK中,可得∠GBK=45°,
∴GK=BK=,
∴Rt△QGK中,QK==,
延長(zhǎng)BK到T使KT=PK,連接GK,
∵∠BKP=∠GKT,
∴△BKP≌△GKT(SAS),
∴∠KGT=∠KBP,∴∠BPK=∠GTK,
∵∠QGT=∠KGQ+∠KGT=∠KGQ+∠PBK,
∠KGQ=2∠GBP,
∴∠QGT=2∠GBP+∠PBK,
∵∠PBK=45°﹣∠GBP,
∴∠QGT=45°+∠PBG=∠BPK,
∴∠QGT=∠GTK,
∴QG=QT=15,
∴PK=KT=QT﹣QK=,
∴GP=GK﹣PK=12=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某廠計(jì)劃生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品共100件,已知A產(chǎn)品每件可獲利潤(rùn)400元,B產(chǎn)品每件可獲利潤(rùn)500元,其中規(guī)定生產(chǎn)B產(chǎn)品的數(shù)量不超過(guò)A產(chǎn)品數(shù)量的2倍,設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品的數(shù)量為x(件),生產(chǎn)兩種產(chǎn)品的獲利總額為y(元)
(1)寫(xiě)出y與x之間的函數(shù)表達(dá)式;
(2)該廠生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品各多少臺(tái),才能使獲利總額最大?最大利潤(rùn)是多少?
(3)在實(shí)際生產(chǎn)過(guò)程中,A產(chǎn)品生產(chǎn)成本下降了m(0<m<200)元且最多生產(chǎn)60件,B產(chǎn)品生產(chǎn)成本不變,請(qǐng)根據(jù)以上信息,設(shè)計(jì)出該廠生產(chǎn)100件A、B兩種產(chǎn)品獲利最多的生產(chǎn)方案.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】拋物線(b,c為常數(shù))與x軸交于點(diǎn)和,與y軸交于點(diǎn)A,點(diǎn)E為拋物線頂點(diǎn)。
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求點(diǎn)A,點(diǎn)E的坐標(biāo);
(Ⅱ)若頂點(diǎn)E在直線上,當(dāng)點(diǎn)A位置最高時(shí),求拋物線的解析式;
(Ⅲ)若,當(dāng)滿足值最小時(shí),求b的值。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知點(diǎn)A,點(diǎn)C在反比例函數(shù)y=(k>0,x>0)的圖象上,AB⊥x軸于點(diǎn)B,OC交AB于點(diǎn)D,若CD=OD,則△AOD與△BCD的面積比為__.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:在△EFG中,∠EFG=90°,EF=FG,且點(diǎn)E,F分別在矩形ABCD的邊AB,AD上.
(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)G在CD上時(shí),求證:△AEF≌△DFG;
(2)如圖2,若F是AD的中點(diǎn),FG與CD相交于點(diǎn)N,連接EN,求證:EN=AE+DN;
(3)如圖3,若AE=AD,EG,FG分別交CD于點(diǎn)M,N,求證:MG2=MNMD.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】“機(jī)動(dòng)車行駛到斑馬線要禮讓行人”等交通法規(guī)實(shí)施后,某校數(shù)學(xué)課外實(shí)踐小組就對(duì)這些交通法規(guī)的了解情況在全校隨機(jī)調(diào)查了部分學(xué)生,調(diào)查結(jié)果分為四種:A.非常了解,B.比較了解,C.基本了解,D.不太了解,實(shí)踐小組把此次調(diào)查結(jié)果整理并繪制成下面不完整的條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖.
請(qǐng)結(jié)合圖中所給信息解答下列問(wèn)題:
(1)本次共調(diào)查 名學(xué)生;扇形統(tǒng)計(jì)圖中C所對(duì)應(yīng)扇形的圓心角度數(shù)是 ;
(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(3)該校共有800名學(xué)生,根據(jù)以上信息,請(qǐng)你估計(jì)全校學(xué)生中對(duì)這些交通法規(guī)“非常了解”的有多少名?
(4)通過(guò)此次調(diào)查,數(shù)學(xué)課外實(shí)踐小組的學(xué)生對(duì)交通法規(guī)有了更多的認(rèn)識(shí),學(xué)校準(zhǔn)備從組內(nèi)的甲、乙、丙、丁四位學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生參加市區(qū)交通法規(guī)競(jìng)賽,請(qǐng)用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法求甲和乙兩名學(xué)生同時(shí)被選中的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖是拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的部分圖象,其頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,n),拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)(3,0)和(4,0)之間.則下列結(jié)論
①a-b+c>0;②3a+b=0;
③b2=4a(c-n);
④一元二次方程ax2+bx+c=n-1有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( )
A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】我市某企業(yè)承接了上海世博會(huì)的禮品盒制作業(yè)務(wù),他們購(gòu)得規(guī)格是170cm×40cm的標(biāo)準(zhǔn)板材作為原材料,每張標(biāo)準(zhǔn)板材再按照裁法一或裁法二裁下A型與B型兩種板材.如圖1所示,(單位:cm)
(1)列出方程(組),求出圖甲中a與b的值.
(2)若將30張標(biāo)準(zhǔn)板材用裁法一裁剪,4張標(biāo)準(zhǔn)板材用裁法二裁剪,再將得到的A型與B型板材做側(cè)面和底面,做成圖2的豎式與橫式兩種無(wú)蓋禮品盒.
①兩種裁法共產(chǎn)生A型板材 張,B型板材 張;
②做成的豎式和橫式兩種無(wú)蓋禮品盒總數(shù)最多是多少個(gè)?此時(shí)橫式無(wú)蓋禮品盒可以做多少個(gè)?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖(1)已知矩形AOCD在平面直角坐標(biāo)系xOy中,∠CAO=60°,OA=2,B點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,0),動(dòng)點(diǎn)M以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿A→C→B運(yùn)動(dòng)(M點(diǎn)不與點(diǎn)A、點(diǎn)B重合),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.
(1)求經(jīng)過(guò)B、C、D三點(diǎn)的拋物線解析式;
(2)點(diǎn)P在(1)中的拋物線上,當(dāng)M為AC中點(diǎn)時(shí),若△PAM≌△PDM,求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)當(dāng)點(diǎn)M在CB上運(yùn)動(dòng)時(shí),如圖(2)過(guò)點(diǎn)M作ME⊥AD,MF⊥x軸,垂足分別為E、F,設(shè)矩形AEMF與△ABC重疊部分面積為S,求S與t的函數(shù)關(guān)系式,并求出S的最大值;
(4)如圖(3)點(diǎn)P在(1)中的拋物線上,Q是CA延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),且P、Q兩點(diǎn)均在第三象限內(nèi),Q、A是位于直線BP同側(cè)的不同兩點(diǎn),若點(diǎn)P到x軸的距離為d,△QPB的面積為2d,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
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