Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知二次函數(shù)y₁=ax²+3x+c的圖像經(jīng)過原點(diǎn)及點(diǎn)

A（1，2）， 與x軸相交于另一點(diǎn)B.

（1）求：二次函數(shù)y₁的解析式及B點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）若將拋物線y₁以x=3為對稱軸向右翻折后，得到一個新的二次函數(shù)y₂,已知二次函數(shù)y₂與x軸交于兩點(diǎn)，其中右邊的交點(diǎn)為C點(diǎn). 點(diǎn)P在線段OC上，從O點(diǎn)出發(fā)向C點(diǎn)運(yùn)動，過P點(diǎn)作x軸的垂線，交直線AO于D點(diǎn)，以PD為邊在PD的右側(cè)作正方形PDEF（當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動時，點(diǎn)D、點(diǎn)E、點(diǎn)F也隨之運(yùn)動）；

①當(dāng)點(diǎn)E在二次函數(shù)y₁的圖像上時，求OP的長.

②若點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā)向C點(diǎn)做勻速運(yùn)動，速度為每秒1個單位長度，同時線段OC上另一個點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)向O點(diǎn)做勻速運(yùn)動，速度為每秒2個單位長度（當(dāng)Q點(diǎn)到達(dá)O點(diǎn)時停止運(yùn)動，P點(diǎn)也同時停止運(yùn)動）.過Q點(diǎn)作x軸的垂線，與直線AC交于G點(diǎn)，以QG為邊在QG的左側(cè)作正方形QGMN（當(dāng)Q點(diǎn)運(yùn)動時，點(diǎn)G、點(diǎn)M、點(diǎn)N也隨之運(yùn)動），若P點(diǎn)運(yùn)動t秒時，兩個正方形分別有一條邊恰好落在同一條直線上（正方形在x軸上的邊除外），求此刻t的值.

Answer 1

【解】（1）∵二次函數(shù)y₁=ax²+3x+c的圖象經(jīng)過原點(diǎn)及點(diǎn)A（1，2），

∴將（0，0），代入得出： c=0，

將（1，2）代入得出：a+3=2，解得：a=-1，

故二次函數(shù)解析式為：y₁=-x²+3x，

∵圖象與x軸相交于另一點(diǎn)B，

∴0=-x²+3x，

解得：x=0或3，

則B（3，0）；（2）①由已知可得C（6，0）

如圖：過A點(diǎn)作AH⊥x軸于H點(diǎn)，設(shè)OP=m

∵DP∥AH，

∴△OPD∽△OHA，

∴，即，

∴PD=2m，∵正方形PDEF，

∴E（3m，2m），

∵E（3m，2m）在二次函數(shù)y₁=-x²+3x的圖象上，

∴m=；

即OP=．②如圖1：

當(dāng)點(diǎn)F、點(diǎn)N重合時，有OF+CN=6，

∵直線AO過點(diǎn)（1，2），

故直線解析式為：y=2x，

當(dāng)OP=t，

則AP=2t，

∵直線AC過點(diǎn)（1，2），（6，0），

代入y=kx+b，

，解得：，

故直線AC的解析式為：y=，

∵當(dāng)OP=t，QC=2t，

∴QO=6-2t，

∴GQ==

即NQ=，

∴OP+PN+NQ+QC=6，

則有3t+2t+=6，

解得：t=；

如圖2：

當(dāng)點(diǎn)F、點(diǎn)Q重合時，有OF+CQ=6，則有3t+2t=6，

解得：t=；

如圖3：

當(dāng)點(diǎn)P、點(diǎn)N重合時，有OP+CN=6，則有t+2t+=6，

解得：t=，

如圖4：

當(dāng)點(diǎn)P、點(diǎn)Q重合時，有OP+CQ=6，則有t+2t=6，

解得：t=2．

故此刻t的值為：t₁=，t₂=，t₃=，t₄=2．