Question

在正方形ABCD中，點E是BC邊的中點，過B點作BG⊥AE于點G，交AC于H，交CD于點F。（1）求證：點F為邊BC的中點；（2）如果正方形的邊長為4，求CH的長度；（3）如果點M是BC上的一點，且AM=MC+CD，
探究∠MAD與∠BAE有怎樣的數(shù)量關(guān)系，說明理由。

Answer 1

（1）證明：∵在正方形ABCD中，
∴AB=BC ∠ABC=∠BCD=90°
∵BG⊥AE
∴∠AGB=90°
∴∠ABG+∠BAG=90°
∠ABG+∠GBE=90°
∴ ∠BAG=∠GBE
∴△ABE≌△BCF   
∴BE="CF"
∵點E是BC邊的中點 ∴BE=BC 
∴ CF=BC=CD   
∴點F為邊BC的中點
（2）∵ AB="BC=4" , ∠ABC =90°     ∴AC=
∵在正方形ABCD中, ∴AB∥CD ∴CH:HA=CF:AB
由(1)知CF=AB   ∴CH:HA=CF:AB=1:2
∴CH=AH=AC=       
（3）∠MAD=2∠BAE 理由如下：           
連接AF并延長交BC的延長線于點N,

∵點F為邊BC的中點     ∴可證△ADF≌△NCF
∴CN=AD，∠N= ∠CAN
∵在正方形ABCD中,  ∴AD=DC=DN，
∵ AM=MC+CD  ∴MC+CN="MC+CD=NM"
∴AM=MN    ∴∠N=∠MAN
∴∠MAD=2∠DAF
由（1）可知點F為CD的中點，
∴DF=BE  ∠ABE=∠ADF=90°   AB=AD
△ABE≌△ADF
∴∠DAF=∠BAE
∴∠MAD=2∠BAE                     

（1）利用BG⊥AE，得出∠AGB=90°，進而得出∠BAG=∠GBE，利用AAS得出△ABE≌△BCF，即可得出點F為邊DC的中點；
（2）根據(jù)AB∥CD，得出CH：HA=CF：AB，由（1）知CF=AB，得出CH：HA=CF：AB=1：2，進而得出CH的長度；
（3）首先證明△ADF≌△NCF，得出CN=AD，∠N=∠CAN，進而得出∠MAD=∠AMB=2∠DAF，再求出△ABE≌△ADF（SAS），得出∠DAF=∠BAE，∠MAD=2∠BAE