Question

設(shè)a，b，c為△ABC的三邊，且二次三項式x²+2ax+b²與x²+2cx-b²有一個公因式，證明：△ABC一定是直角三角形．

Answer 1

考點：一元二次方程的解,勾股定理的逆定理

專題：證明題

分析：設(shè)兩個方程的公共根是x₀，代入兩方程求出公共根，再把求出的根代入方程就可以確定a，b，c的關(guān)系，然后判斷三角形的形狀．

解答：證明：因為題目中的兩個二次三項式有一個公因式，
所以二次方程x²+2ax+b²=0與x²+2cx-b²=0必有公共根，設(shè)公共根為x₀，
則

x02+2ax0+b2=0   ① x02+2cx0-b2=0    ②

①+②得：
2x₀²+2（a+c）x₀=0
2x₀[x₀+（a+c）]=0
∴x₀=0或x₀=-（a+c）
若x₀=0，代入①式得b=0，這與b為△ABC的邊不符，
所以公共根x₀=-（a+c）．把x₀=-（a+c）代入①式得（a+c）²-2a（a+c）+b²=0，
整理得a²=b²+c²
所以△ABC為直角三角形．

點評：本題考查的是一元二次方程的公共解，一般是設(shè)方程的公共解，求出公共解后代入方程，確定a，b，c的關(guān)系，然后判斷三角形的形狀．