【題目】四邊形ABCD是正方形,AC與BD,相交于點O,點E、F是直線AD上兩動點,且AE=DF,CF所在直線與對角線BD所在直線交于點G,連接AG,直線AG交BE于點H.
(1)如圖1,當點E、F在線段AD上時,求證:∠DAG=∠DCG;
(2)如圖1,猜想AG與BE的位置關系,并加以證明;
(3)如圖2,在(2)條件下,連接HO,試說明HO平分∠BHG.
【答案】(1)證明見解析(2)AG⊥BE(3)證明見解析
【解析】
(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)得DA=DC,∠ADB=∠CDB=45°,則可根據(jù)“SAS”證明△ADG≌△CDG,所以∠DAG=∠DCG;
(2)根據(jù)正方形的性質(zhì)得AB=DC,∠BAD=∠CDA=90°,根據(jù)“SAS”證明△ABE≌△DCF,則∠ABE=∠DCF,由于∠DAG=∠DCG,所以∠DAG=∠ABE,然后利用∠DAG+∠BAG=90°得到∠ABE+∠BAG=90°,于是可判斷AG⊥BE;
(3)如答圖1所示,過點O作OM⊥BE于點M,ON⊥AG于點N,證明△AON≌△BOM,可得四邊形OMHN為正方形,因此HO平分∠BHG結(jié)論成立.
(1)證明:∵四邊形ABCD為正方形,
∴DA=DC,∠ADB=∠CDB=45°,
在△ADG和△CDG中,
,
∴△ADG≌△CDG(SAS),
∴∠DAG=∠DCG;
(2)解:AG⊥BE.理由如下:
∵四邊形ABCD為正方形,
∴AB=DC,∠BAD=∠CDA=90°,
在△ABE和△DCF中,
,
∴△ABE≌△DCF(SAS),
∴∠ABE=∠DCF,
∵∠DAG=∠DCG,
∴∠DAG=∠ABE,
∵∠DAG+∠BAG=90°,
∴∠ABE+∠BAG=90°,
∴∠AHB=90°,
∴AG⊥BE;
(3)解:由(2)可知AG⊥BE.
如答圖1所示,過點O作OM⊥BE于點M,ON⊥AG于點N,則四邊形OMHN為矩形.
∴∠MON=90°,
又∵OA⊥OB,
∴∠AON=∠BOM.
∵∠AON+∠OAN=90°,∠BOM+∠OBM=90°,
∴∠OAN=∠OBM.
在△AON與△BOM中,
,
∴△AON≌△BOM(AAS).
∴OM=ON,
∴矩形OMHN為正方形,
∴HO平分∠BHG.
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【題目】如圖,在△ABC中,∠B=∠C,AB=10 cm,BC=8 cm,D為AB的中點,點P在線段上以3 cm/s的速度由點B向點C運動,同時,點Q在線段CA上以相同速度由點C向點A運動,一個點到達終點后另一個點也停止運動.當△BPD與△CQP全等時,求點P運動的時間.
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中放置一菱形OABC,已知∠ABC=60°,OA=1.現(xiàn)將菱形OABC沿x軸的正方向無滑動翻轉(zhuǎn),每次翻轉(zhuǎn)60°,連續(xù)翻轉(zhuǎn)2018次,點B的落點依次為B1,B2,B3,B4,…,則B2018的坐標為________.
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【題目】如圖,菱形ABCD對角線交于點O,BE∥AC,AE∥BD,EO與AB交于點F.
(1)試判斷四邊形AEBO的形狀,并說明你的理由;
(2)求證:EO=DC.
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【題目】在一條筆直的公路上有A,B,C三地,C地位于A,B兩地之間,甲,乙兩車分別從A,B兩地出發(fā),沿這條公路勻速行駛至C地停止.從甲車出發(fā)至甲車到達C地的過程,甲、乙兩車各自與C地的距離y(km)與甲車行駛時間t(h)之間的函數(shù)關系如圖表示,當甲車出發(fā)h時,兩車相距350km.
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【題目】為了傳承優(yōu)秀傳統(tǒng)文化,某校開展“經(jīng)典誦讀”比賽活動,誦讀材料有《論語》,《三字經(jīng)》,《弟子規(guī)》(分別用字母A,B,C依次表示這三個誦讀材料),將A,B,C這三個字母分別寫在3張完全相同的不透明卡片的正面上,把這3張卡片背面朝上洗勻后放在桌面上.小明和小亮參加誦讀比賽,比賽時小明先從中隨機抽取一張卡片,記錄下卡片上的內(nèi)容,放回后洗勻,再由小亮從中隨機抽取一張卡片,選手按各自抽取的卡片上的內(nèi)容進行誦讀比賽.
(1)小明誦讀《論語》的概率是;
(2)請用列表法或畫樹狀圖(樹形圖)法求小明和小亮誦讀兩個不同材料的概率.
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【題目】如圖,在邊長為1的小正方形組成的66網(wǎng)格中,A,B,C是格點(我們把組成網(wǎng)格的小正方形的頂點,稱為格點),其中點C在直線AB外。
(1)過A點畫AB的垂線AG;
(2)過C點畫AB的平行線CH;
(3)連接BC,線段BC與線段AB的關系:______________;
(4)_____________________是點C到直線AB的距離;
(5)因為直線外一點和直線上各點連接的所有線段中,垂線段最短,所以線段AC,BC的大小關系是______________(用“<”號連接)
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【題目】(題文)圖1是一個長為2a,寬為2b的長方形,沿圖中虛線剪開分成四塊小長方形,然后按圖2的形狀拼成一個正方形.
圖2的陰影部分的正方形的邊長是______.
用兩種不同的方法求圖中陰影部分的面積.
(方法1)= ____________;
(方法2)= ____________;
(3) 觀察圖2,寫出(a+b)2,(a-b)2,ab這三個代數(shù)式之間的等量關系;
根據(jù)題中的等量關系,解決問題:若m+n=10,m-n=6,求mn的值.
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