Question

如圖，AB是半圓O的直徑，AD為弦，∠DBC=∠A．
（1）求證：BC是半圓O的切線；
（2）若OC∥AD，OC交BD于E，BD=6，CE=4，求AD的長．

Answer 1

（1）證明：∵AB是半圓O的直徑，
∴BD⊥AD，
∴∠DBA+∠A=90°，
∵∠DBC=∠A，
∴∠DBA+∠DBC=90°即AB⊥BC，
∴BC是半圓O的切線；

（2）解：∵OC∥AD，
∴∠BEC=∠D=90°，
∵BD⊥AD，BD=6，
∴BE=DE=3，
∵∠DBC=∠A，
∴△BCE∽△BAD，
∴，即，
∴AD=4.5
分析：（1）若證明BC是半圓O的切線，利用切線的判定定理：即證明AB⊥BC即可；
（2）因?yàn)镺C∥AD，可得∠BEC=∠D=90°，再有其他條件可判定△BCE∽△BAD，利用相似三角形的性質(zhì)：對應(yīng)邊的比值相等即可求出AD的長．
點(diǎn)評：本題考查了切線的判定．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．同時考查了相似三角形的判定和性質(zhì)．