Question

在直角坐標系xOy中，拋物線y=ax²+bx+3與x軸交于A、B兩點，交y軸于點C，過A點的直線與拋物線的另一交點為D（m，3），與y軸相交于點E，點A的坐標為（-1，0），tan∠DAB=

1

2

，點P是拋物線上的一點，且點P在第一象限．
（1）求直線AD和拋物線的解析式；
（2）若PC⊥CB，求△PCB的周長；
（3）若S_△PBC=S_△BOC，求點P的坐標．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：探究型

分析：（1）作DF⊥AB于F，由tan∠DAB=

DF

AF

=

1

2

，D（m，3）可求出AF的長，再根據(jù)A（-1，0）可得出AF的長，故可得出D點坐標，利用待定系數(shù)法求出直線AD的解析式，同理，利用待定系數(shù)法可求出拋物線y=ax²+bx+3的解析式；
（2）作PG⊥y軸于G，根據(jù)BC兩點的坐標求出OC，OB的長，當PC⊥CB時，由相似三角形的判定定理得出△PGC∽△COB，故CG=2PG，設(shè)P（m，-

1

2

m²+

5

2

m+3），則CG=2m，故-

1

2

m²+

5

2

m+3=2m+3，由此可得出m的值，故可得出P點坐標，根據(jù)勾股定理可得出PC，BC，PB的長，故可得出三角形的周長；
（3）過P作直線l∥BC交y軸于H，根據(jù)S_△PBC=S_△BOC，且兩三角形同底可得CH=OC=3，故可得出H點的坐標，利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，故可得出直線PH的解析式，聯(lián)立直線PH與拋物線的解析式即可得出P點坐標．

解答：解：（1）作DF⊥AB于F．
∵tan∠DAB=

DF

AF

=

1

2

，D（m，3）．
∴AF=6，DF=3，
∵A（-1，0），
∴OF=6-1=5，D（5，3）
設(shè)直線AD為y=kx+b
則

-k+b=0 5k+b=3

，解得

k= 1 2 b= 1 2

，
∴直線AD的解析式y(tǒng)=

1

2

x+

1

2

．
∵拋物線y=ax²+bx+3過A，D兩點．
∴

a-b+3=0 25a+5b+3=3

，解得

a=- 1 2 b= 5 2

∴拋物線的解析式為y=-

1

2

x²+

5

2

x+3；

（2）作PG⊥y軸于G．
∵由（1）知，拋物線的解析式為y=-

1

2

x²+

5

2

x+3，
∴易求C（0，3），B（6，0），
∴OC=3，OB=6
當PC⊥CB時，
∵∠GPC+∠PCG=90°，∠OCB+∠PCG=90°，
∴∠GPC=∠OCB，
∵∠PGC=∠COF=90°，
∴△PGC∽△COB．
∴CG=2PG                              
設(shè)P（m，-

1

2

m²+

5

2

m+3），則CG=2m．
∴-

1

2

m²+

5

2

m+3=2m+3，
解得m=0（舍），或m=1，
∴P（1，5），
∴PC=

5

，BC=

32+62

=3

5

，
PB=

(6-1)2+52

=5

2

，
∴△PCB的周長=

5

+3

5

+5

2

=4

5

+5

2

；

（3）過P作直線l∥BC交y軸于H．
∵S_△PBC=S_△BOC，且兩三角形同底，
∵OC=3，
∴CH=OC=3，
∴H（0，6），
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），
∵B（6，0），C（0，3），
∴

6k+b=0 b=3

，
∴直線BC的解析式為y=-

1

2

x+3，
∴直線PH的解析式為y=-

1

2

x+6，
∵

y=- 1 2 x2+ 5 2 x+3 y=- 1 2 x+6

，
∴-

1

2

x²+

5

2

x+3=-

1

2

x+6，
化簡得，x²-6x+6=0，解得x=3±

3

∴P點坐標為（3-

3

，

9+ 3

2

），（3+

3

，

9- 3

2

）．

點評：本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到用到定系數(shù)法求一次函數(shù)及二次函數(shù)的解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、勾股定理等相關(guān)知識，難度較大．