Question

如圖，OA和OB是⊙O的半徑，并且OA⊥OB，P是OA上任一點(diǎn)，BP的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)Q的直線交OA延長(zhǎng)線于點(diǎn)R，且RP=RQ
（1）求證：直線QR是⊙O的切線；
（2）若OP=PA=1，試求RQ的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）要證明直線QR是⊙O的切線，證明OQ⊥RQ即可；
（2）在Rt△OQR中，根據(jù)勾股定理解直角三角形即可求出RQ的長(zhǎng)．

解答：證明：（1）連接OQ；

∵OB=OQ，
∴∠B=∠BQO；
∵PR=QR，
∴∠RPQ=∠PQR
∵∠B+∠BPO=90°，
∠BPO=∠RPQ=∠PQR，
∴∠BQO+∠PQR=90°，即OQ⊥QR，
直線QR是⊙O的切線．

（2）設(shè)AR的長(zhǎng)為x，則PR=RQ=x+1；
在Rt△OQR中，OQ=OA=2，
則（x+2）²=（x+1）²+2²，
解之得，x=

1

2

，
∴QR=x+1=

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握切線的判定，會(huì)運(yùn)用勾股定理求解一些簡(jiǎn)單的直角三角形．