Question

如圖，AB是半圓O的直徑，長為30cm，延長AB到點C，使BC=

1

2

AB，有一個動點P從點B出發(fā)，以2πcm/s的速度沿圓周逆時針運動，當?shù)近cA立即停止運動．
（1）利用尺規(guī)作圖，CP與半圓O相切時點P的位置；（不寫作法，保留作圖痕跡）
（2）求CP與半圓O相切時，點P運動的時間．

Answer 1

分析：（1）以OC為直徑作圓，與半圓AB的交點就是P，即可作出圖形，如圖所示；
（2）連接OP，由AB的長求出BC的長，即可得到OP與OC的長，由PC為半圓的切線，得到OP與PC垂直，在直角三角形OPC中，根據(jù)余弦函數(shù)定義得到cos∠POC的值，進而求出∠POC的度數(shù)，又半徑為OP的長，根據(jù)弧長公式求出弧BP的長，即為點P運動的路程，利用路程除以速度即可求出點P運動的時間．

解答：解：（1）因為OB=BC，所以以點B為圓心，BC為半徑畫圓，與半圓交于點P，
所以點P為所求的點．如圖所示：（2分）

（2）連接OP，
∵AB=30，BC=

1

2

AB，∴OP=OB=15，OC=30，（3分）
∵CP與半圓O相切于點P，∴CO⊥OP，（5分）
∴cos∠POC=

OP

OC

=

15

30

=

1

2

，∴∠POC=60°，（5分）
則

PB

=

60 ×π×15

180

=5π，
所以點P運動時間=5π÷2π=2.5（s）．
答：CP與半圓O相切時，點P運動的時間為2.5s．（7分）

點評：此題考查了尺規(guī)作圖，弧長公式及切線的性質(zhì)．運用切線的性質(zhì)來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題．