Question

如圖，在Rt△OAB中，∠B=Rt∠，OB=2AB．線段AB的垂直平分線交反比例函數(shù)y=（x＞0）的圖象于點(diǎn)C，D為垂足，過C作CE⊥OB于點(diǎn)E．當(dāng)四邊形CDBE為正方形時(shí)，正方形CDBE的面積為    ．

Answer 1

【答案】分析：延長EC、DC，分別交x軸與P、F點(diǎn)，作CH⊥x軸于H點(diǎn)，設(shè)正方形CDBE的邊長為a，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得AB=2a，則OB=2AB=4a，且可得到DF為△OAB的中位線，所以FD=OB=2a，則FC=2a-a=a，于是CP為△FDA的中位線，CP=AD=a，在Rt△CFP中，根據(jù)勾股定理計(jì)算出PF=a，利用面積法計(jì)算出CH=a，在Rt△CFH中，根據(jù)勾股定理計(jì)算HF=a，OA=2a，所以O(shè)F=OA=a，則可確定C點(diǎn)坐標(biāo)為（a，a），然后把C點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例解析式得到a²．
解答：解：延長EC、DC，分別交x軸與P、F點(diǎn)，作CH⊥x軸于H點(diǎn)，如圖，
設(shè)正方形CDBE的邊長為a，
∵FD垂直平分AB，
∴AB=2a，
∵OB=2AB，
∴OB=4a，
∵DF為△OAB的中位線，
∴FD=OB=2a，
∴FC=2a-a=a，
∴CP為△FDA的中位線，
∴CP=AD=a，
在Rt△CFP中，PF==a，
∴CH•PF=CP•CF，即CH•a=a•a，
∴CH=a，
在Rt△CFH中，HF==a，
在Rt△OAB中，OA==2a，
∴OF=OA=a，
∴OH=OF+FH=a，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（a，a），
把C（a，a）代入y=得a•a=2，解得a²=．
∴正方形CDBE的面積為．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和正方形的性質(zhì)；熟練運(yùn)用勾股定理進(jìn)行幾何計(jì)算．