Question

【題目】如圖（1），在平面直角坐標系中，等腰直角三角形AOB的斜邊OB在x軸上，直線y＝2x－2經過等腰直角三角形AOB的直角頂點A，交y軸于點C．

　　　　

（1）點C坐標是（ ， ）；點A坐標是（ ， ）；

（2）若D是坐標平面內任意一點，使點A、C、O、D剛好能構成平行四邊形，請直接寫出符合條件的點D的坐標；

（3）若點P是x軸上一動點．點Q的坐標是（a，），△PAQ是以點A為直角頂點的等腰三角形．求出a的值并寫出點Q的坐標．

Answer 1

【答案】（1）0，-2，2，2；（2），，；（3）a=4，Q(4，1)．

【解析】

（1）過點A分別作AM⊥y軸于M點，AN⊥x軸于N點，根據(jù)等腰直角三角形的性質可設點A的坐標為(a，a)，再把A點坐標代入y＝2x－2，即可算出a的值，進而得到A點坐標，令x=0，代入y＝2x－2，即可得到點C的坐標；
（2）畫出草圖，根據(jù)平行四邊形的性質，分3種情況：當以OA為平行四邊形的對角線時，當以OC為平行四邊形的對角線時，當以AC為平行四邊形的對角線時，分別求出點C的坐標，即可；

（3）連接AQ，AP，PQ，BQ，由SAS易證△APO≌△AQB，得出∠AOP=∠ABQ=45°，從而求得QB⊥OB，結合B點的坐標，即可得到點Q的坐標．

（1）過點A分別作AM⊥y軸于點M，AN⊥x軸于點N，

∵△AOB是等腰直角三角形，

∴ON=AN=BN，

∵∠MON=∠ANO=∠AMO=90°，

∴四邊形ANOM是正方形，

∴AM=AN，

設點A的坐標為(a，a)，

∵點A在直線y=2x2上，

∴a=2a2，

解得：a=2，

∴A(2，2)，

令x=0，代入y=2x2得：y=-2，

∴C(0，-2)．

故答案是：0，-2，2，2；

（2）∵A(2，2)，C(0，-2)，D是坐標平面內任意一點，使點A、C、O、D剛好能構成平行四邊形，

∴當以OA為平行四邊形的對角線時，，當以OC為平行四邊形的對角線時，，當以AC為平行四邊形的對角線時，，

綜上所述，點D的坐標是：，，；

（3）連接AQ，AP，PQ，BQ，

∵△PAQ是以點A為直角頂點的等腰三角形，

∴AP=AQ，

∵∠OAB=∠PAQ=90°，

∴∠OAB∠PAB=∠PAQ∠PAB，

∴∠OAP=∠BAQ，

在△APO與△AQB中，

∵，

∴△APO≌△AQB（SAS），

∴∠AOP=∠ABQ=45°，

∴∠OBQ=45°+45°=90°，

∴QB⊥OB，

∵A(2，2)，

由第（1）題，可得OB=2AN=4，

∴B(4，0)，

∵Q點的坐標是(a，)，

∴a=4，

∴Q(41)．