Question

【題目】如圖（1），在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角三角形AOB的斜邊OB在x軸上，直線y＝2x－2經(jīng)過(guò)等腰直角三角形AOB的直角頂點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)C．

　　　　

（1）點(diǎn)C坐標(biāo)是（ ， ）；點(diǎn)A坐標(biāo)是（ ， ）；

（2）若D是坐標(biāo)平面內(nèi)任意一點(diǎn)，使點(diǎn)A、C、O、D剛好能構(gòu)成平行四邊形，請(qǐng)直接寫出符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）若點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)．點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（a，），△PAQ是以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)的等腰三角形．求出a的值并寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）0，-2，2，2；（2），，；（3）a=4，Q(4，1)．

【解析】

（1）過(guò)點(diǎn)A分別作AM⊥y軸于M點(diǎn)，AN⊥x軸于N點(diǎn)，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a，a)，再把A點(diǎn)坐標(biāo)代入y＝2x－2，即可算出a的值，進(jìn)而得到A點(diǎn)坐標(biāo)，令x=0，代入y＝2x－2，即可得到點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）畫出草圖，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，分3種情況：當(dāng)以OA為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，當(dāng)以OC為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，當(dāng)以AC為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，分別求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，即可；

（3）連接AQ，AP，PQ，BQ，由SAS易證△APO≌△AQB，得出∠AOP=∠ABQ=45°，從而求得QB⊥OB，結(jié)合B點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

（1）過(guò)點(diǎn)A分別作AM⊥y軸于點(diǎn)M，AN⊥x軸于點(diǎn)N，

∵△AOB是等腰直角三角形，

∴ON=AN=BN，

∵∠MON=∠ANO=∠AMO=90°，

∴四邊形ANOM是正方形，

∴AM=AN，

設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a，a)，

∵點(diǎn)A在直線y=2x2上，

∴a=2a2，

解得：a=2，

∴A(2，2)，

令x=0，代入y=2x2得：y=-2，

∴C(0，-2)．

故答案是：0，-2，2，2；

（2）∵A(2，2)，C(0，-2)，D是坐標(biāo)平面內(nèi)任意一點(diǎn)，使點(diǎn)A、C、O、D剛好能構(gòu)成平行四邊形，

∴當(dāng)以OA為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，，當(dāng)以OC為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，，當(dāng)以AC為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，，

綜上所述，點(diǎn)D的坐標(biāo)是：，，；

（3）連接AQ，AP，PQ，BQ，

∵△PAQ是以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)的等腰三角形，

∴AP=AQ，

∵∠OAB=∠PAQ=90°，

∴∠OAB∠PAB=∠PAQ∠PAB，

∴∠OAP=∠BAQ，

在△APO與△AQB中，

∵，

∴△APO≌△AQB（SAS），

∴∠AOP=∠ABQ=45°，

∴∠OBQ=45°+45°=90°，

∴QB⊥OB，

∵A(2，2)，

由第（1）題，可得OB=2AN=4，

∴B(4，0)，

∵Q點(diǎn)的坐標(biāo)是(a，)，

∴a=4，

∴Q(41)．