Question

已知△ABC為等邊三角形，點D為直線BC上的一動點（點D不與B、C重合），以AD為邊作等邊△ADE（頂點A、D、E按逆時針方向排列），連接CE．
（1）如圖1，當(dāng)點D在邊BC上時，求證：①BD=CE，②AC=CE+CD；
（2）如圖2，當(dāng)點D在邊BC的延長線上且其他條件不變時，結(jié)論AC=CE+CD是否成立？若不成立，請寫出AC、CE、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（3）如圖3，當(dāng)點D在邊BC的反向延長線上且其他條件不變時，補(bǔ)全圖形，并直接寫出AC、CE、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及等式的性質(zhì)就可以得出△ABD≌△ACE，從而得出結(jié)論；
（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及等式的性質(zhì)就可以得出△ABD≌△ACE，就可以得出BD=CE，就可以得出AC=CE-CD；
（3）先根據(jù)條件畫出圖形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及等式的性質(zhì)就可以得出△ABD≌△ACE，就可以得出BD=CE，就可以得出AC=CD-CE．

解答：解：（1）∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，
∴AB=AC=BC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°．
∴∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD，即∠BAD=∠CAE．
在△ABD和△ACE中，

AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE

，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE．
∵BC=BD+CD，AC=BC，
∴AC=CE+CD；
（2）AC=CE+CD不成立，
AC、CE、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系是：AC=CE-CD．
理由：∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，
∴AB=AC=BC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°．
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE             
在△ABD和△ACE中，

AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE

∴△ABD≌△ACE（SAS）                            
∴BD=CE                                          
∴CE-CD=BD-CD=BC=AC，
∴AC=CE-CD；                   
（3）補(bǔ)全圖形（如圖）
                           
AC、CE、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系是：AC=CD-CE．
理由：∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，
∴AB=AC=BC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°．
∴∠BAC-∠BAE=∠DAE-∠BAE，
∴∠BAD=∠CAE             
在△ABD和△ACE中，

AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE

∴△ABD≌△ACE（SAS）                            
∴BD=CE．
∵BC=CD-BD，
∴BC=CD-CE，
∴AC=CD-CE．

點評：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，等式的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時證明三角形全等是關(guān)鍵．