Question

如圖，矩形紙片ABCD中，AB=6，BC=8．折疊紙片使點B落在AD上，落點為B′．點B′從點A開始沿AD移動，折痕所在直線l的位置也隨之改變，當(dāng)直線l經(jīng)過點A時，點B′停止移動，連接BB′．設(shè)直線l與AB相交于點E，與CD所在直線相交于點F，點B′的移動距離為x，點F與點C的距離為y．

（1）求證：∠BEF=∠AB′B；

（2）求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出x的取值范圍．

Answer 1

（1）證明：如圖，由四邊形ABCD是矩形和折疊的性質(zhì)可知，BE=B′E，∠BEF=∠B′EF，

∴在等腰△BEB′中，EF是角平分線，

∴EF⊥BB′，∠BOE=90°，

∴∠ABB′+∠BEF=90°，

∵∠ABB′+∠AB′B=90°，

∴∠BEF=∠AB′B；

（2）解：①當(dāng)點F在CD之間時，如圖1，作FM⊥AB交AB于點E，

∵AB=6，BE=EB′，AB′=x，BM=FC=y，

∴在RT△EAB′中，EB′²=AE²+AB′²，

∴（6﹣AE）²=AE²+x²

解得AE=，

tan∠AB′B==，tan∠BEF==，

∵由（1）知∠BEF=∠AB′B，

∴=，

化簡，得y=x²﹣x+3，（0＜x≤8﹣2）

②當(dāng)點F在點C下方時，如圖2所示．

設(shè)直線EF與BC交于點K

設(shè)∠ABB′=∠BKE=∠CKF=θ，則tanθ==．

BK=，CK=BC﹣BK=8﹣．

∴CF=CK•tanθ=（8﹣）•tanθ=8tanθ﹣BE=x﹣BE．

在Rt△EAB′中，EB′²=AE²+AB′²，

∴（6﹣BE）²+x²=BE²

解得BE=．

∴CF=x﹣BE=x﹣=﹣x²+x﹣3

∴y=﹣x²+x﹣3（8﹣2＜x≤6）

綜上所述，

y=．