Question

【題目】如圖，已知拋物線y=﹣x2+bx+c與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)點(diǎn)A（0，8）、B（8，0）和點(diǎn)E，動(dòng)點(diǎn)C從原點(diǎn)O開(kāi)始沿OA方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)B開(kāi)始沿BO方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)C、D同時(shí)出發(fā)，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D到達(dá)原點(diǎn)O時(shí)，點(diǎn)C、D停止運(yùn)動(dòng)．

（1）求該拋物線的解析式及點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（2）若D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，△CED的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并求出△CED的面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+3x+8，E（﹣2，0）；（2）當(dāng)t=5時(shí)，S最大=．

【解析】

試題分析：（1）將點(diǎn)A（0，8）、B（8，0）代入拋物線y=﹣x2+bx+c即可求出拋物線的解析式為：y=﹣x2+3x+8；再令y=0，得：﹣x2+3x+8=0，解方程可得點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（2）根據(jù)題意得：當(dāng)D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，BD=t，OC=t，然后由點(diǎn)A（0，8）、B（8，0），可得OA=8，OB=8，從而可得OD=8﹣t，然后令y=0，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣2，0），進(jìn)而可得OE=2，DE=2+8﹣t=10﹣t，然后利用三角形的面積公式即可求△CED的面積S與D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的函數(shù)解析式為：S=﹣t2+5t，然后轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式即可求出最值為：S最大=．

解：（1）將點(diǎn)A（0，8）、B（8，0）代入拋物線y=﹣x2+bx+c得：，

解得：b=3，c=8，

故拋物線的解析式為：y=﹣x2+3x+8，

∵點(diǎn)A（0，8）、B（8，0），

∴OA=8，OB=8，

令y=0，得：﹣x2+3x+8=0，

解得：x1=8，x2=﹣2，

∵點(diǎn)E在x軸的負(fù)半軸上，

∴點(diǎn)E（﹣2，0），

∴OE=2；

（2）根據(jù)題意得：當(dāng)D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，BD=t，OC=t，

∴OD=8﹣t，

∴DE=OE+OD=10﹣t，

∴S=DEOC=（10﹣t）t=﹣t2+5t，

即S=﹣t2+5t=﹣（t﹣5）2+，

∴當(dāng)t=5時(shí)，S最大=．