Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點D是AC的中點，且∠A+∠CDB=90°，過點A，D作⊙O，使圓心O在AB上，⊙O與AB交于點E．

（1）求證：直線BD與⊙O相切；

（2）若AD：AE=4：5，BC=6，求⊙O的直徑．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）5．

【解析】

試題分析：（1）連接OD、DE，求出∠A=∠ADO，求出∠ADO+∠CDB=90°，求出∠ODB=90°，根據切線的判定推出即可；

（2）求出∠ADE=90°=∠C，推出BC∥DE，得出E為AB中點，推出AE=AB，DE=BC=3，設AD=4a，AE=5a，由勾股定理求出DE=3a=3，求出a=1，求出AE即可．

（1）證明：連接OD、DE，

∵OA=OD，

∴∠A=∠ADO，

∵∠A+∠CDB=90°，

∴∠ADO+∠CDB=90°，

∴∠ODB=180°﹣90°=90°，

∴OD⊥BD，

∵OD是⊙O半徑，

∴直線BD與⊙O相切；

（2）解：∵AE是⊙O直徑，

∴∠ADE=90°=∠C，

∴BC∥DE，

∴△ADE∽△ACB，

∴=

∵D為AC中點，

∴AD=DC=AC，

∴AE=BE=AB，

DE是△ACB的中位線，

∴AE=AB，DE=BC=×6=3，

設AD=4a，AE=5a，

在Rt△ADE中，由勾股定理得：DE=3a=3，

解得：a=1，

∴AE=5a=5，

答：⊙O的直徑是5．