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【題目】如圖,在RtABC中,C=90°,點D是AC的中點,且A+CDB=90°,過點A,D作O,使圓心O在AB上,O與AB交于點E.

(1)求證:直線BD與O相切;

(2)若AD:AE=4:5,BC=6,求O的直徑.

【答案】(1)見解析;(2)5.

【解析】

試題分析:(1)連接OD、DE,求出A=ADO,求出ADO+CDB=90°,求出ODB=90°,根據切線的判定推出即可;

(2)求出ADE=90°=C,推出BCDE,得出E為AB中點,推出AE=AB,DE=BC=3,設AD=4a,AE=5a,由勾股定理求出DE=3a=3,求出a=1,求出AE即可.

(1)證明:連接OD、DE,

OA=OD,

∴∠A=ADO,

∵∠A+CDB=90°,

∴∠ADO+CDB=90°

∴∠ODB=180°﹣90°=90°,

ODBD

ODO半徑,

直線BD與O相切;

(2)解:AEO直徑,

∴∠ADE=90°=C,

BCDE,

∴△ADE∽△ACB,

=

D為AC中點,

AD=DC=AC,

AE=BE=AB,

DE是ACB的中位線,

AE=AB,DE=BC=×6=3,

設AD=4a,AE=5a,

在RtADE中,由勾股定理得:DE=3a=3,

解得:a=1,

AE=5a=5,

答:O的直徑是5.

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