Question

如圖，已知正方形OABC在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸的正半軸上，點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)．等腰直角三角板OEF的直角頂點(diǎn)O在原點(diǎn)，E、F分別在OA、OC上，且OA=4，OE=2．將三角板OEF繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至OE₁F₁的位置，連接CF₁、AE₁．
（1）求證：△OAE₁≌△OCF₁；
（2）若三角板OEF繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，是否存在某一位置，使得OE∥CF？若存在，請求出此時(shí)E點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）證明：
∵四邊形OABC為正方形，∴OC=OA．
∵三角板OEF是等腰直角三角形，∴OE₁=OF₁．
又三角板OEF繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至OE₁F₁的位置時(shí)，∠AOE₁=∠COF₁，
∴△OAE₁≌△OCF₁． （3分）

（2）存在． （4分）
∵OE⊥OF，
∴過點(diǎn)F與OE平行的直線有且只有一條，并與OF垂直，
當(dāng)三角板OEF繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，
則點(diǎn)F在以O(shè)為圓心，以O(shè)F為半徑的圓上． （5分）
∴過點(diǎn)F與OF垂直的直線必是圓O的切線．
又點(diǎn)C是圓O外一點(diǎn)，過點(diǎn)C與圓O相切的直線有且只有2條，不妨設(shè)為CF₁和CF₂，
此時(shí)，E點(diǎn)分別在E₁點(diǎn)和E₂點(diǎn)，滿足CF₁∥OE₁，CF₂∥OE₂． （7分）
當(dāng)切點(diǎn)F₁在第二象限時(shí)，點(diǎn)E₁在第一象限．
在直角三角形CF₁O中，OC=4，OF₁=2，
cos∠COF₁=

OF1

OC

=

1

2

，
∴∠COF₁=60°，∴∠AOE₁=60°．
∴點(diǎn)E₁的橫坐標(biāo)為：x_E1=2cos60°=1，
點(diǎn)E₁的縱坐標(biāo)為：y_E1=2sin60°=

3

，
∴點(diǎn)E₁的坐標(biāo)為（1，

3

）；（9分）
當(dāng)切點(diǎn)F₂在第一象限時(shí)，點(diǎn)E₂在第四象限．
同理可求：點(diǎn)E₂的坐標(biāo)為（1，-

3

）．（10分）
綜上所述，三角板OEF繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，存在兩個(gè)位置，使得OE∥CF，
此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為E₁（1，

3

）或E₂（1，-

3

）．（11分）