(2013•新余模擬)如圖:把一張給定大小的矩形卡片ABCD放在間距為10mm的橫格紙中(所有橫線互相平行),恰好四個(gè)頂點(diǎn)都在橫格線上,AD與l2交于點(diǎn)E,BD與l4交于點(diǎn)F.
(1)求證:△ABE≌△CDF;
(2)已知α=25°,求矩形卡片的周長.(可用計(jì)算器求值,答案精確到1mm,參考數(shù)據(jù):sin25°≈0.42,cos25°≈0.91,tan25°≈0.47)
分析:(1)利用已知條件首先證明四邊形BFDE是平行四邊形,利用全等的性質(zhì)得到BE=FD,再根據(jù)“Hl”即可證明△ABE≌△CDF;
(2)作AF⊥l4于F,交l2于E.在Rt△ABE中根據(jù)三角函數(shù)即可求得AB的長;在直角△AFD中,根據(jù)三角函數(shù)即可求得AD的長,從而求得長方形卡片的周長.
解答:(1)證明:∵l2∥l4 BC∥AD,
∴四邊形BFDE是平行四邊形,
∴BE=FD,
∵AB=CD,∠BAE=∠FCD=90゜
∴△ABE≌△CDF(HL);

(2)過A作AG⊥l4,交l2于H,
∵α=25°,
∴∠ABE=25°
∴sin∠ABE=
AH
AB
≈0.42,
解得:AB≈47.62,
∵∠ABE+∠AEB=90゜∠HAE+∠AEB=90゜,
∴∠HAE=25゜
∴cos∠DAG=
AG
AD
≈0.91,
解得:AD≈43.96,
∴矩形卡片ABCD的周長為(47.62+43.96)×2≈183(mm).
點(diǎn)評:本題考查了矩形對邊相等的性質(zhì),全等三角形的判定,直角三角形中三角函數(shù)的應(yīng)用,銳角三角函數(shù)值的計(jì)算.通過作輔助線構(gòu)造直角三角形是解決本題的關(guān)鍵.
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