Question

如圖，已知二次函數(shù)y=ax²+bx+8（a≠0）的圖像與x軸交于點(diǎn)A（-2，0），B，
與y軸交于點(diǎn)C，tan∠ABC=2．
（1）求拋物線的解析式及其頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）設(shè)直線CD交x軸于點(diǎn)E．在線段OB的垂直平分線上是否存在點(diǎn)P，使得經(jīng)過點(diǎn)P的直線PM垂直于直線CD，且與直線OP的夾角為75°？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）過點(diǎn)B作x軸的垂線，交直線CD于點(diǎn)F，將拋物線沿其對(duì)稱軸向上平移，使拋物線與線段EF總有公共點(diǎn)．試探究：拋物線最多可以向上平移多少個(gè)單位長度？

Answer 1

解：（1）依題意，可知 C(0,8),則B(4,0)
將A(-2,0)，B(4，0)代入 y=ax²+bx+8，
 解得

配方得y，頂點(diǎn)D（1,9）.    ---------3分
（2）假設(shè)滿足條件的點(diǎn)存在，依題意設(shè)
由求得直線的解析式為，

它與軸的夾角為．
過點(diǎn)P作PN⊥y軸于點(diǎn)N.
依題意知，∠NPO=30°或∠NPO=60°.
∵PN=2，∴ON= 或2．
∴存在滿足條件的點(diǎn)，的坐標(biāo)為（2， ）和(2，2)．-----------6分
（3）由上求得．
當(dāng)拋物線向上平移時(shí)，可設(shè)解析式為．
當(dāng)時(shí)，．
當(dāng)時(shí)，．
或．
由題意可得m的范圍為．
∴ 拋物線最多可向上平移72個(gè)單位．     -----------8分

解析