Question

【題目】閱讀下列材料

在因式分解中,把多項式中某些部分看作一個整體,用一個新的字母代替(即換元),不僅可以簡化要分解的多項式的結構,而且能使式子的特點更加明顯,使于觀察如何進行因式分解我們把這種因式分解的方法稱為“換元 法”.下面是小涵同學用換元法對多項式(x+4x+1)(x+4x+7)+9 進行因式分解的過程.

解:設 x+4x=y

原式=(y+1)(y+7)+9 (第一步)

=y+8y+16 (第二步)

=(y+4) (第三步)

=(x+4x+4) (第四步）

請根據(jù)上述材料回答下列問題:

(1)小涵同學的解法中,第二步到第三步運用了因式分解的 .

A.提取公因式法 B.平方差公式法 C.完全平方公式法

(2)老師說,小涵同學因式分解的結果不徹底,請你寫出該因式分解的最后結果: .

(3)請你用換元法對多項式(x－2x)(x－2x+2)+1 進行因式分解

(4)當 x= 時,多項式(x－2x)(x－2x+2)－1 存在最 值(填“大”或“小”).請你求出這 個最值

Answer 1

【答案】（1）C；（2）（x-2）4；（3）見解析；（4）1；小，-2.

【解析】

（1）根據(jù)完全平方公式進行分解因式；

（2）最后再利用完全平方公式將結果分解到不能分解為止；

（3）根據(jù)材料，用換元法進行分解因式；

（4）把原式變形為，由即可得解.

（1）由第二步到第三步是運用了完全平方公式法，

故選：C；

（2）（x2-4x+1）（x2-4x+7）+9，

設x2-4x=y，

原式=（y+1）（y+7）+9，

=y2+8y+16，

=（y+4）2，

=（x2-4x+4）2，

=（x-2）4；

故答案為：（x-2）4；

（3）設x2-2x=y，

原式=y（y+2）+1，

=y2+2y+1，

=（y+1）2，

=（x2-2x+1）2，

=（x-1）4．

（4）設x2-2x=y，

原式=y（y+2）-1，

=y2+2y-1，

=（y+1）2-2，

= (x－2x+1) －2

= (x－1)4－2

∵(x－1)4≥0，

∴當x=1時，多項式(x－2x)(x－2x+2)－1 存在最小值，為：-2.