Question

如圖，已知等腰△ABC中，AB=AC=2，點(diǎn)D在邊BC的反向延長(zhǎng)線上，且DB=3，點(diǎn)E在邊BC的延長(zhǎng)線上，且∠EAC=∠D，設(shè)AD=x，BC=y．
（1）求線段CE的長(zhǎng)；
（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域；
（3）當(dāng)AC平分∠BAE時(shí)，求線段AD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及條件得出△DBA∽△ACE，就可以得出

DB

AC

=

AB

CE

，從而得出結(jié)論；
（2）由△DBA∽△ACE可以得出

AD

AE

=

AB

CE

，進(jìn)而可以求出AE，再根據(jù)△EAC∽△EDA可以得出

AC

AD

=

EA

ED

再由條件就可以求出解析式，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系就可以求出自變量的取值范圍；
（3）根據(jù)條件求得△CAB∽△CDA，就可以得出

CA

CD

=

AB

DA

，從而得出

2

3+y

=

2

x

，再將y的值代入就可以求出x的值．

解答：解（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ABD=∠ACE．
∵∠EAC=∠D，
∴△DBA∽△ACE，
∴

DB

AC

=

AB

CE

，
∵AB=AC=2，DB=3
∴

3

2

=

2

CE

∴CE=

4

3

；

（2）∵△DBA∽△ACE，
∴

AD

AE

=

AB

CE

，
∵AD=x，AB=2，CE=

4

3

，
∴AE=

2

3

x．
∵∠EAC=∠D，∠E=∠E，
∴△EAC∽△EDA，
∴

AC

AD

=

EA

ED

．
∵BC=y，
∴ED=DB+BC+CE=

13

3

+y，
∴

2

x

=

2 3 x

13 3 +y

，
∴y=

1

3

x2-

13

3

．
根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可以得出：
0＜y＜4，
∴0＜

1

3

x2-

13

3

＜4，
∴

13

＜x＜5．

（3）∵AC平分∠BAE，
∴∠EAC=∠CAB．
∵∠EAC=∠D，
∴∠CAB=∠D．
∵∠ACB=∠ACB，
∴△CAB∽△CDA，
∴

CA

CD

=

AB

DA

，
∴

2

3+y

=

2

x

，
即3+

1

3

x2-

13

3

=x，
解得x₁=4，x₂=-1（舍去），
即AD=4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，角平分線的性質(zhì)的運(yùn)用，相似三角形的性質(zhì)求函數(shù)的解析式的運(yùn)用，三角形的三邊關(guān)系確定自變量的取值范圍的運(yùn)用，在解答者中運(yùn)用角的關(guān)系求三角形相似是關(guān)�。�