Question

【題目】如圖①，將一個(gè)矩形紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是.點(diǎn)是的中點(diǎn)，在上取一點(diǎn)，將沿翻折，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處.

（Ⅰ）求點(diǎn)、的坐標(biāo)；

（Ⅱ）如圖②，若點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合），過點(diǎn)作于，設(shè)的長為，的面積為，試用關(guān)于的代數(shù)式表示；

（Ⅲ）在軸、軸上分別存在點(diǎn)、，使得四邊形的周長最小，請(qǐng)直接寫出四邊形的周長最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）E（3，1），F（1，2）；（Ⅱ）S=-+；（Ⅲ）5+；

【解析】

（Ⅰ）求出CF和AE的長度即可寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；
（Ⅱ）用x表示出PD長度，結(jié)合三角函數(shù)進(jìn)一步表示DH，PH的長度，運(yùn)用三角形面積公式即可求解；
（Ⅲ）作點(diǎn)F關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)F′，點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E′，連接E′F′交y軸于點(diǎn)N，交x軸于點(diǎn)M，此時(shí)四邊形MNFE的周長最小，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得四邊形MNFE的周長=E′F′+EF，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式即可得出結(jié)論．

（Ⅰ）∵點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是，

∴OA=3，AB=2

根據(jù)矩形OABC可得：AB=OC=2，BC=OA=3

由可翻折的性質(zhì)可得：BF=AB=2，

∴CF=BC-BF=1，
∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴AE=1，

∴E（3，1），F（1，2）；
（Ⅱ）如圖2

∵將△BDA沿BD翻折，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F處，
∴BF=AB=2，
∴OD=CF=3-2=1，

∵=，OD=1，∴PD=x-1，
在Rt△ABD中，AB=2，AD=2，∴∠ADB=45°，
在Rt△PDH中，PH=DH=DP=（x-1），
∴S=×DH×PH=×（x-1）×（x-1）=-+；
（Ⅲ）如圖3

作點(diǎn)F關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)F′，點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E′，連接E′F′交y軸于點(diǎn)N，交x軸于點(diǎn)M，此時(shí)四邊形MNFE的周長最小，

∵點(diǎn)F（1，2）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)F′（-1，2），

∵點(diǎn)E（3，1）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E′（3，-1），

∴F′N=FN， E′M=EM

∴四邊形MNFE的周長=E′F′+EF=；
∴四邊形MNFE周長的最小值為：．