Question

【題目】（1）發(fā)現(xiàn)

如圖，點(diǎn)為線段外一動(dòng)點(diǎn)，且，.

填空：當(dāng)點(diǎn)位于____________時(shí)，線段的長(zhǎng)取得最大值，且最大值為_(kāi)________.（用含，的式子表示）

（2）應(yīng)用

點(diǎn)為線段外一動(dòng)點(diǎn)，且，.如圖所示，分別以，為邊，作等邊三角形和等邊三角形，連接，.

①找出圖中與相等的線段，并說(shuō)明理由；

②直接寫(xiě)出線段長(zhǎng)的最大值.

（3）拓展

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)為線段外一動(dòng)點(diǎn)，且，，，求線段長(zhǎng)的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）CB的延長(zhǎng)線上，a+b；

（2）①DC=BE,理由見(jiàn)解析；②BE的最大值是4.

（3）AM的最大值是3+2，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2-，）.

【解析】試題分析：（1）當(dāng)點(diǎn)A在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，可得線段AC的長(zhǎng)取得最大值為a+b；（2）①DC=BE，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°，再證得∠CAD=∠EAB,即可判定△CAD≌△EAB，所以DC=BE；②當(dāng)點(diǎn)A在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，可得線段CD的長(zhǎng)取得最大值為3+1=4，即可得BE的最大值是4;（3）如圖3，構(gòu)造△BNP≌△MAP,則NB=AM,由（1）知，當(dāng)點(diǎn)N在BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，NB有最大值（如備用圖）。易得△APN是等腰直角三角形，AP=2，∴AN=，∴AM=NB=AB+AN=3+;過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，PE=AE=,又A（2，0）∴P（2-，）

試題解析：（1）CB的延長(zhǎng)線上，a+b；

（2）①DC=BE,理由如下：

∵△ABD和△ACE為等邊三角形，

∴AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°，

∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠CAD=∠EAB,

∴△CAD≌△EAB.

∴DC=BE.

②BE的最大值是4.

（3）AM的最大值是3+2，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2-，）.