Question

一張圓形紙片，小芳進(jìn)行了如下連續(xù)操作：

（1）將圓形紙片左右對(duì)折，折痕為AB，如圖（2）所示．
（2）將圓形紙片上下折疊，使A、B兩點(diǎn)重合，折痕CD與AB相交于M，如圖（3）所示．
（3）將圓形紙片沿EF折疊，使B、M兩點(diǎn)重合，折痕EF與AB相交于N，如圖（4）所示．
（4）連結(jié)AE、AF，如圖（5）所示．
經(jīng)過(guò)以上操作小芳得到了以下結(jié)論：
①CD∥EF；②四邊形MEBF是菱形；③△AEF為等邊三角形；④，
以上結(jié)論正確的有（ ）
A．1個(gè)
B．2個(gè)
C．3個(gè)
D．4個(gè)

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)折疊的性質(zhì)可得∠BMD=∠BNF=90°，然后利用同位角相等，兩直線平行可得CD∥EF，從而判定①正確；根據(jù)垂徑定理可得BM垂直平分EF，再求出BN=MN，從而得到BM、EF互相垂直平分，然后根據(jù)對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形求出四邊形MEBF是菱形，從而得到②正確；連接ME，根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出∠MEN=30°，然后求出∠EMN=60°，根據(jù)等邊對(duì)等角求出∠AEM=∠EAM，然后利用三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出∠AEM=30°，從而得到∠AEF=60°，同理求出∠AFE=60°，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°求出∠EAF=60°，從而判定△AEF是等邊三角形，③正確；設(shè)圓的半徑為r，求出MN=r，EN=r，然后求出AN、EF，再根據(jù)三角形的面積公式與圓的公式列式整理即可得到④正確．
解答：解：∵紙片上下折疊A、B兩點(diǎn)重合，
∴∠BMD=90°，
∵紙片沿EF折疊，B、M兩點(diǎn)重合，
∴∠BNF=90°，
∴∠BMD=∠BNF=90°，
∴CD∥EF，故①正確；

根據(jù)垂徑定理，BM垂直平分EF，
又∵紙片沿EF折疊，B、M兩點(diǎn)重合，
∴BN=MN，
∴BM、EF互相垂直平分，
∴四邊形MEBF是菱形，故②正確；

如圖，連接ME，則ME=MB=2MN，
∴∠MEN=30°，
∴∠EMN=90°-30°=60°，
又∵AM=ME（都是半徑），
∴∠AEM=∠EAM，
∴∠AEM=∠EMN=×60°=30°，
∴∠AEF=∠AEM+∠MEN=30°+30°=60°，
同理可求∠AFE=60°，
∴∠EAF=60°，
∴△AEF是等邊三角形，故③正確；

設(shè)圓的半徑為r，則MN=r，EN=r，
∴EF=2EN=r，AN=r+r=r，
∴S_△AEF：S_圓=（×r×r）：πr²=3：4，故④正確；
綜上所述，結(jié)論正確的是①②③④共4個(gè)．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題圓的綜合題型，主要考查了翻折變換的性質(zhì)，平行線的判定，對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形，等邊三角形的判定與性質(zhì)，綜合題，但難度不大，仔細(xì)分析便不難求解．