Question

【題目】如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線C1：y=（x+k）（x﹣3）交x軸于點(diǎn)A、B（A在B的右側(cè)），交y軸于點(diǎn)C，橫坐標(biāo)為2k的點(diǎn)P在拋物線C1上，連結(jié)PA、PC、AC，設(shè)△ACP的面積為S．

（1）求直線AC對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式（用含k的式子表示）．

（2）當(dāng)點(diǎn)P在直線AC的下方時(shí)，求S取得最大值時(shí)拋物線C1所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．

（3）當(dāng)k取不同的值時(shí)，直線AC、拋物線C1和點(diǎn)P、點(diǎn)B都隨k的變化而變化，但點(diǎn)P始終在不變的拋物線（虛線）C2：y=ax2+bx上，求拋物線C2所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．

（4）如圖②，當(dāng)點(diǎn)P在直線AC的下方時(shí)，過點(diǎn)P作x軸的平行線交C2于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作y軸的平行線交C1于點(diǎn)E，當(dāng)△PEF與△ACO的相似比為時(shí)，直接寫出k的值．

Answer 1

【答案】（1）y=kx﹣3k；（2）C1：y=x2﹣﹣；（3）C2：y=x2﹣x；（4）k的值為或．

【解析】分析：（1）先求點(diǎn)A和C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求直線AC的解析式；
（2）如圖①，作輔助線，構(gòu)建鉛直線PM，利用S△PAC=S△PQC+S△PQA表示S的關(guān)系式，設(shè)表示PQ的長，代入可得S與k的關(guān)系式，利用頂點(diǎn)式求最值，將k值代入C1的解析式即可；
（3）任意取兩個(gè)k的值代入到點(diǎn)P的坐標(biāo)中，如：當(dāng)k=1時(shí),此時(shí)P(2,3),當(dāng)k=2時(shí),P(4,6)，代入拋物線C2所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式中可得結(jié)論；
（4）如圖②，由△ACO和△PEF都是直角三角形,相似比為,所以存在兩種情況：
①當(dāng)△PEF∽△CAO時(shí), ②當(dāng)時(shí)，列比例式，根據(jù)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的絕對值等于點(diǎn)E的縱坐標(biāo)的絕對值與EF的和列等式可得k的值，并根據(jù)題意進(jìn)行取舍．

詳解：(1)在y=(x+k)(x3)中，

令y=0,可得A(3,0),B(k,0)，

令x=0,可得C(0,3k)，

設(shè)直線AC對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為：y=mx+n，

將A(3,0),C(0,3k)代入得：

解得：

∴直線AC對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為：y=kx3k；

(2)如圖①，過點(diǎn)P作y軸的平行線交AC于點(diǎn)Q，交x軸于點(diǎn)M，

過C作CN⊥PM于N,

當(dāng)x=2k時(shí),

∵點(diǎn)P、Q分別在拋物線C1、直線AC上，

∴

∴

∴S△PAC=S△PQC+S△PQA

∴當(dāng)時(shí),△PAC面積的最大值是

此時(shí),C1:

(3)∵點(diǎn)P在拋物線C1上，

∴P(2k,6k29k)，

當(dāng)k=1時(shí),此時(shí)P(2,3),當(dāng)k=2時(shí),P(4,6)，

把(2,3)和(4,6)代入拋物線(虛線)C2:上得：

解得： ，

∴拋物線C2所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為：

(4)如圖②,由題意得：△ACO和△PEF都是直角三角形,且，

∵點(diǎn)P在直線AC的下方,橫坐標(biāo)為2k的點(diǎn)P在拋物線C1上，

∴P(2k,6k29k),且，

∵A(3,0),C(0,3k)，

∴OA=3，OC=3k，

∴當(dāng)△PEF與△ACO的相似比為時(shí)，存在兩種情況：

①當(dāng)△PEF∽△CAO時(shí),

∴

∴PF=k，EF=1，

∴

∵EF=1，

∴

(舍)，

②當(dāng)△PEF∽△ACO時(shí),

∴

∴PF=1，EF=k，

∴

∴

綜上所述,k的值為或 .