Question

【題目】如圖，DB=DC,∠BAC=∠BDC=120°，DM⊥AC，E為BA延長線上的點(diǎn)，∠BAC的角平分線交BC于N，∠ABC的外角平分線交CA的延長線于點(diǎn)P，連接PN交AB于K，連接CK，則下列結(jié)論正確的是：①∠ABD=∠ACD；②DA平分∠EAC；③當(dāng)點(diǎn)A在DB左側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，為定值；④∠CKN=30° ( )

A.①③④B.②③④C.①②④D.①②③

Answer 1

【答案】C

【解析】

由∠BAC=∠BDC=120°可知ABCD四點(diǎn)共圓，由圓周角定理可得∠ABD=∠ACD，∠DAC=∠DBC=30°，即可得到∠DAC=∠EAD=30°，所以①②正確；無法得出③的結(jié)論，故③錯(cuò)誤；PKN截△ABC，根據(jù)梅涅勞斯定理可得，再根據(jù)角平分線定理可推出，，從而得出，可知CK為∠ACB的角平分線，兩條角平分線交點(diǎn)為△ABC的內(nèi)心G，設(shè)△ANC的內(nèi)心為H，易知H在CG上，連接AH，NH，可得角平分線，最后推出AKNH四點(diǎn)共圓，即可得∠CKN=∠NAH=30°，故④正確.

解：∵∠BAC=∠BDC=120°

∴ABCD四點(diǎn)共圓，∠DBC=∠DCB=30°，如圖所示，

∴∠ABD=∠ACD，∠DAC=∠DBC=30°，

故①正確；

又∵∠EAC=180°-∠BAC=60°，

∴∠EAD=∠EAC-∠DAC=30°=∠AEC

即AD平分∠EAC，故②正確；

無法得出③的結(jié)論，故③錯(cuò)誤；

④PKN截△ABC，根據(jù)梅涅勞斯定理可得，

∵AN平分∠BAC，PB平分△ABC的外角，

∴，

∴，整理得

∴CK平分∠ACB

AN，CK交于點(diǎn)G，則G為△ABC的內(nèi)心，

設(shè)△ANC的內(nèi)心為H，易知H在CG上，

連接AH，NH，則AH平分∠NAC，NH平分∠ANC

設(shè)∠ACB=，則∠ABC=，

∴∠ANC=∠ABC+∠BAN=

∴∠ANH=∠ANC=

又∵∠AKG=∠ABC+∠KCB=

∴∠ANH=∠AKG

∴AKNH四點(diǎn)共圓，

∴∠CKN=∠NAH=30°，故④正確.

①②④正確，故選C.