Question

如圖，拋物線y=ax² +bx+c經(jīng)過點A(-3，0)、C(0，4)，點B在拋物線上，CB

∥X軸．且AB平分∠CAO.

    (1)求拋物線的解析式．

    (2)線段AB上有一動點P，過P作y軸的平行線，交拋物線于點Q，求線段PQ的最大值；

(3)拋物線的對稱軸上是否存在點M，使△ABM是以AB為直角邊的直角三角形？如果存在，直接寫出點M的坐標；如果不存在，說明理由，

Answer 1

解：(1)A（-3，0）、C(0，4)，所以AC=5,OC=4．

∵AB平分∠CAO  ∴∠CAB=∠BAO

∵CB∥x軸∴∠CBA=∠BAO   

∴∠CAB=∠CBA

∴AC=BC=5

∴B(5,4)………………………………………1分

 A(-3，0)、C(0，4)、B(5，4)代入y=ax²+bx+c得：

   0= 9a-3b+c

4=c  ………………………………………2分

4=25a+5b+c

解得：a=，b=，c=4．

所以y=x²+x+4……………………………3分

 (2)設AB的解析式為：y=kx+b，……………4分

把A（-3,0）、B(5，4)代入    0=-3k+b…………………5分

                             4=5k+b

解得： k=．所以AB的解析式為y=x+；……………………6分

B=.

可設P(x,x+)，Q(x,x²+x+4)，

則PQ=x²+x+4-(x+)=x²+x+=(x-1)²+…………7分

當x=1時，PQ最大，且最大值為．…………8分

    (3)存在．M的坐標為（，9）和（，-11）…