【題目】如圖,在△ABC中,D是AC上一點(CD>AD),按要求完成下列各小題.(保留作圖痕跡,不寫作法,標明各頂點字母)
(1)連接BD,求作△DEF(點E在線段CD上,點F在線段AC的右側(cè)),使得△DEF≌△DAB;
(2)在(1)的條件下,作∠EFH=∠ABC,交CA的延長線于點H,并證明HF∥BC.
【答案】(1)作圖見解析;(2)作圖見解析;證明見解析.
【解析】
(1)因為∠ADB=∠FDE,故只需使DF=BD,AD=ED,即可使得△DEF≌△DAB;(2)根據(jù)題意作出圖,由(1)可知:∠DFE=∠DBA,而從作圖可知∠EFH=∠ABC,故而可證得:∠DFH=∠DBC,從而可證明:HF∥BC.
解:(1)如圖①所示,△DEF即為所求.(△DEF≌△DAB)
(2)如圖②所示,∠EFH即為所求.(∠EFH=∠ABC)
證明:由(1)知△DEF≌△DAB,
∴∠DFE=∠DBA.
由作圖知∠EFH=∠ABC,
∴∠EFH-∠DFE=∠ABC-∠DBA,
即∠DFH=∠DBC,∴HF∥BC.
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【題目】在學習了第四章《基本的平面圖形》的知識后,小明將自己手中的一副三角板的兩個直角頂點疊放在一起拼成如下的圖形1和圖形2.
(1)在圖1中,當AD平分∠BAC時,小明認為此時AB也應該平分∠FAD,請你通過計算判斷小明的結(jié)論是否正確.
(2)小明還發(fā)現(xiàn):只要AD在∠BAC的內(nèi)部,當△ABC繞直角頂點A旋轉(zhuǎn)時,總有∠FAB=∠DAC(見圖2),請你判斷小明的發(fā)現(xiàn)是否正確,并簡述理由.
(3)在圖2中,當∠FAC=x,∠BAD=y,請你探究x與y的關(guān)系.
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【題目】王老師給學生出了一道題:求(2a+b)(2a﹣b)+2(2a﹣b)2+(2ab2﹣16a2b)÷(﹣2a)的值,其中a=,b=﹣1,同學們看了題目后發(fā)表不同的看法.小張說:條件b=﹣1是多余的.”小李說:“不給這個條件,就不能求出結(jié)果,所以不多余.”你認為他們誰說的有道理?為什么?
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【題目】下列說法:①位似圖形都相似;②位似圖形都是平移后再放大(或縮小)得到;③直角三角形斜邊上的中線與斜邊的比為1:2;④兩個相似多邊形的面積比為4:9,則周長的比為16:81中,正確的有( )
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
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【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=6cm,點P沿AB邊從點A開始向點B以2cm/s的速度移動,點Q沿DA邊從點D開始向A以1cm/s的速度移動.如果P、Q同時出發(fā),用t秒表示移動的時間(0≤t≤6)那么:
(1)當t為何值時,△QAP為等腰直角三角形?
(2)對四邊形QAPC的面積,提出一個與計算結(jié)果有關(guān)的結(jié)論;
(3)當t為何值時,以點Q、A、P為頂點的三角形與△ABC相似?
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【題目】如圖,在矩形ABCD中,點E是AD的中點,∠EBC的平分線交CD于點F,將△DEF沿EF折疊,點D恰好落在BE上M點處,延長BC、EF交于點N.有下列四個結(jié)論:①DF=CF;②BF⊥EN;③△BEN是等邊三角形;④S△BEF=3S△DEF.其中,將正確結(jié)論的序號全部選對的是
A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④
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【題目】(1)如圖1,在正方形ABCD中,E是AB上一點,F是AD延長線上一點,且DF=BE.求證:CE=CF;
(2)如圖2,在正方形ABCD中,E是AB上一點,G是AD上一點,如果∠GCE=45°,請你利用(1)的結(jié)論證明:GE=BE+GD.
(3)運用(1)(2)解答中所積累的經(jīng)驗和知識,完成下題:
如圖3,在直角梯形ABCD中,AD∥BC(BC>AD),∠B=90°,AB=BC,E是AB上一點,且∠DCE=45°,BE=4,DE="10," 求直角梯形ABCD的面積.
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【題目】探索題:(x﹣1)(x+1)=x2﹣1;
(x﹣1)(x2+x+1)=x3﹣1;
(x﹣1)(x3+x2+x+1)=x4﹣1;
(x﹣1)(x4+x3+x2+x+1)=x5﹣1
…
根據(jù)前面的規(guī)律,回答下列問題:
(1)(x﹣1)(xn+xn﹣1+xn﹣2+…+x3+x2+x+1)=_____.
(2)當x=3時,(3﹣1)(32015+32014+32013+…+33+32+3+1)=______.
(3)求:22014+22013+22012+…+23+22+2+1的值.(請寫出解題過程).
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【題目】如圖1,在矩形ABCD中,動點E從A出發(fā),沿AB→BC方向運動,當點E到達點C時停止運動,過點E做FE⊥AE,交CD于F點,設點E運動路程為x,F(xiàn)C=y,如圖2所表示的是y與x的函數(shù)關(guān)系的大致圖象,當點E在BC上運動時,FC的最大長度是,則矩形ABCD的面積是_____.
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