Question

【題目】如圖1，△ABC中，AB=AC，點D在BA的延長線上，點E在BC上，DE=DC，點F是DE與AC的交點，且DF=FE．

（1）圖1中是否存在與∠BDE相等的角？若存在，請找出，并加以證明，若不存在，說明理由；

（2）求證：BE=EC；

（3）若將“點D在BA的延長線上，點E在BC上”和“點F是DE與AC的交點，且DF=FE”分別改為“點D在AB上，點E在CB的延長線上”和“點F是ED的延長線與AC的交點，且DF=kFE”，其他條件不變（如圖2）．當AB=1，∠ABC=a時，求BE的長（用含k、a的式子表示）．

Answer 1

【答案】（1）∠DCA=∠BDE．（2）證明見解析；（3）．

【解析】

試題（1）運用等腰三角形的性質及三角形的外角性質就可解決問題．

（2）過點E作EG∥AC，交AB于點G，如圖1，要證BE=CE，只需證BG=AG，由DF=FE可證到DA=AG，只需證到DA=BG即DG=AB，也即DG=AC即可．只需證明△DCA≌△△EDG即可解決問題．

（3）過點A作AH⊥BC，垂足為H，如圖2，可求出BC=2cosα．過點E作EG∥AC，交AB的延長線于點G，易證△DCA≌△△EDG，則有DA=EG，CA=DG=1．易證△ADF∽△GDE，則有．由DF=kFE可得DE=EF-DF=（1-k）EF．從而可以求得AD=,即GE=，易證△ABC∽△GBE，則有，從而可以求出BE．

試題解析：（1）∠DCA=∠BDE．

證明：∵AB=AC，DC=DE，

∴∠ABC=∠ACB，∠DEC=∠DCE．

∴∠BDE=∠DEC-∠DBC=∠DCE-∠ACB=∠DCA．

（2）過點E作EG∥AC，交AB于點G，如圖1，

則有∠DAC=∠DGE．

在△DCA和△EDG中，

∴△DCA≌△EDG（AAS）．

∴DA=EG，CA=DG．

∴DG=AB．

∴DA=BG．

∵AF∥EG，DF=EF，

∴DA=AG．

∴AG=BG．

∵EG∥AC，

∴BE=EC．

（3）過點E作EG∥AC，交AB的延長線于點G，如圖2，

∵AB=AC，DC=DE，

∴∠ABC=∠ACB，∠DEC=∠DCE．

∴∠BDE=∠DBC-∠DEC=∠ACB-∠DCE=∠DCA．

∵AC∥EG，

∴∠DAC=∠DGE．

在△DCA和△EDG中，

∴△DCA≌△EDG（AAS）．

∴DA=EG，CA="DG"

∴DG=AB=1．

∵AF∥EG，

∴△ADF∽△GDE．

∴

∵DF=kFE，

∴DE=EF-DF=（1-k）EF．

∴．

∴AD=

∴GE=AD=

過點A作AH⊥BC，垂足為H，如圖2，

∵AB="AC，AH⊥BC，"

∴BH="CH．"

∴BC="2BH．"

∵AB="1，∠ABC=α，"

∴BH=ABcos∠ABH="cosα．"

∴BC="2cosα．"

∵AC∥EG，

∴△ABC∽△GB．

∴．

∴．

∴BE=．

∴BE的長為．