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【題目】如圖1,△ABC中,AB=AC,點DBA的延長線上,點EBC上,DE=DC,點FDEAC的交點,且DF=FE

1)圖1中是否存在與∠BDE相等的角?若存在,請找出,并加以證明,若不存在,說明理由;

2)求證:BE=EC

3)若將DBA的延長線上,點EBCFDEAC的交點,且DF=FE”分別改為DAB上,點ECB的延長線上FED的延長線與AC的交點,且DF=kFE”,其他條件不變(如圖2).當AB=1,∠ABC=a時,求BE的長(用含k、a的式子表示).

【答案】1∠DCA=∠BDE.(2)證明見解析;(3

【解析】

試題(1)運用等腰三角形的性質及三角形的外角性質就可解決問題.

2)過點EEG∥AC,交AB于點G,如圖1,要證BE=CE,只需證BG=AG,由DF=FE可證到DA=AG,只需證到DA=BGDG=AB,也即DG=AC即可.只需證明△DCA≌△△EDG即可解決問題.

3)過點AAH⊥BC,垂足為H,如圖2,可求出BC=2cosα.過點EEG∥AC,交AB的延長線于點G,易證△DCA≌△△EDG,則有DA=EG,CA=DG=1.易證△ADF∽△GDE,則有.由DF=kFE可得DE=EF-DF=1-kEF.從而可以求得AD=,GE=,易證△ABC∽△GBE,則有,從而可以求出BE

試題解析:(1∠DCA=∠BDE

證明:∵AB=ACDC=DE,

∴∠ABC=∠ACB∠DEC=∠DCE

∴∠BDE=∠DEC-∠DBC=∠DCE-∠ACB=∠DCA

2)過點EEG∥AC,交AB于點G,如圖1,

則有∠DAC=∠DGE

△DCA△EDG中,

∴△DCA≌△EDGAAS).

∴DA=EG,CA=DG

∴DG=AB

∴DA=BG

∵AF∥EG,DF=EF

∴DA=AG

∴AG=BG

∵EG∥AC,

∴BE=EC

3)過點EEG∥AC,交AB的延長線于點G,如圖2,

∵AB=AC,DC=DE

∴∠ABC=∠ACB,∠DEC=∠DCE

∴∠BDE=∠DBC-∠DEC=∠ACB-∠DCE=∠DCA

∵AC∥EG,

∴∠DAC=∠DGE

△DCA△EDG中,

∴△DCA≌△EDGAAS).

∴DA=EG,CA="DG"

∴DG=AB=1

∵AF∥EG,

∴△ADF∽△GDE

∵DF=kFE,

∴DE=EF-DF=1-kEF

∴AD=

∴GE=AD=

過點AAH⊥BC,垂足為H,如圖2,

∵AB="ACAH⊥BC,"

∴BH="CH"

∴BC="2BH"

∵AB="1∠ABC=α,"

∴BH=ABcos∠ABH="cosα"

∴BC="2cosα"

∵AC∥EG,

∴△ABC∽△GB

∴BE=

∴BE的長為

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