Question

【題目】（1）發(fā)現(xiàn)：如圖1，點(diǎn)為線段外一動(dòng)點(diǎn)，且，，當(dāng)點(diǎn)位于 時(shí)，線段的長(zhǎng)取得最大值，最大值為 （用含的式子表示）；

（2）應(yīng)用：如圖2，點(diǎn)為線段外一動(dòng)點(diǎn)，，，以為邊作等邊，連接，求線段的最大值；

（3）拓展：如圖3，線段，點(diǎn)為線段外一動(dòng)點(diǎn)，且，，，求線段長(zhǎng)的最大值及此時(shí)的面積．

Answer 1

【答案】（1）CB的延長(zhǎng)線上，a+b；（2）6；（3）最大值為3+，△PBM的面積為

【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)A位于CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，線段AC的長(zhǎng)取得最大值，即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，推出△CAD≌△EAB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CD=BE，利用（1）中的結(jié)論即可得到結(jié)果；
（3）將△APM繞著點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△AP'N，連接BN，得到△APP'是等腰直角三角形，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到P'A=PA=2，AN=AM，根據(jù)當(dāng)N在線段BA的延長(zhǎng)線時(shí)，線段BN取得最大值，即可得到最大值為+3，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，

利用勾股定理求出PB的長(zhǎng)，根據(jù)△PBM為等腰直角三角形，可求出面積.

解：（1）∵點(diǎn)A為線段BC外一動(dòng)點(diǎn)，且BC=a，AB=b，
∴當(dāng)點(diǎn)A位于CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，線段AC的長(zhǎng)取得最大值，且最大值為BC+AB=a+b，
故答案為：CB的延長(zhǎng)線上，a+b；
（2）如圖2中，以AC為邊向上作等邊△ACE，連接BE．

∵△ABD與△ACE是等邊三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，
即∠CAD=∠EAB，
在△CAD與△EAB中，

，

∴△CAD≌△EAB（SAS），
∴CD=BE；
∴線段BE長(zhǎng)的最大值=線段CD的最大值，
∴由（1）知，當(dāng)線段BE的長(zhǎng)取得最大值時(shí)，點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線上，
∴最大值為=4+2=6．
∴線段CD的最大值為6；

（3）解：如圖3中，將△APM繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△AP'N，連接BN，PP′．

∴△APM≌△AP'N，
∴AN=AM，AP=AP'=2，
∴線段AM長(zhǎng)的最大值=線段AN長(zhǎng)的最大值，
∴當(dāng)N在線段AB的延長(zhǎng)線時(shí)，線段AN取得最大值，最大值=AB+BN，
∴∠PAP'=90°，
∴△APP'是等腰三角形，
∴PP'=，

∵△BPM是等腰直角三角形，
∴∠BPM=∠MAN=90°，PM=PB=P'N，
∴∠AMP=∠ABP=∠N，
∴PB∥P'N，
∴四邊形PBNP'是平行四邊形，
∴BN=PP'，
∴AN的最大值為：AB+BN=AB+PP'=3+，

∴AM的最大值為3+，

過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，

∵∠PAP′=90°，∠P′AB=∠PP′A=45°，

∴∠PAQ=45°，

∴△PAQ為等腰直角三角形，

∵AP=2，由勾股定理可得：

∴AQ=PQ=，

在△PBQ中，PQ2+BQ2=PB2，

即，

∴PB2=，

∵△PBM為等腰直角三角形，

此時(shí)△PBM的面積=×=.