Question

【題目】如圖1，直線y＝﹣x+b分別與x軸，y軸交于A（6，0），B兩點，過點B的另一直線交x軸的負半軸于點C，且OB：OC＝3：1

（1）求直線BC的解析式；

（2）直線y＝ax﹣a（a≠0）交AB于點E，交BC于點F，交x軸于點D，是否存在這樣的直線EF，使S△BDE＝S△BDF？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由；

（3）如圖2，點P為A點右側(cè)x軸上一動點，以P為直角頂點，BP為腰在第一象限內(nèi)作等腰直角三角形△BPQ，連接QA并延長交y軸于點K．當P點運動時，K點的位置是否發(fā)生變化？若不變，求出它的坐標；如果會發(fā)生變化，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝3x+6；（2）存在，a＝；（3）K點的位置不發(fā)生變化，K（0，﹣6）

【解析】

（1）首先確定B、C兩點坐標，利用待定系數(shù)法即可解決問題；

（2）由S△BDF＝S△BDE可知只需DF＝DE，即D為EF中點，聯(lián)立解析式求出E、F兩點坐標，利用中點坐標公式列出方程即可解決問題；

（3）過點Q作QC⊥x軸，證明△BOP≌△PCQ，求出AC＝QC，即可推出∠QAC＝∠OAK＝45°，即可解決問題.

解：（1）∵直線y＝﹣x+b與x軸交于A（6，0），

∴0＝﹣6+b，解得：b＝6，

∴直線AB的解析式是：y＝﹣x+6，

∴B（0，6），

∴OB＝6，

∵OB：OC＝3：1，

∴OC＝2，

∴C（﹣2，0）

設(shè)直線BC的解析式是y＝kx+b，

∴，解得，

∴直線BC的解析式是：y＝3x+6；

（2）存在．

理由： ∵S△BDF＝S△BDE，

∴只需DF＝DE，即D為EF中點，

∵點E為直線AB與EF的交點，

聯(lián)立，解得：，

∴點E（，），

∵點F為直線BC與EF的交點，

聯(lián)立，解得：，

∴點F（，），

∵D為EF中點，

∴，

∴a＝0（舍去），a＝，

經(jīng)檢驗，a＝是原方程的解，

∴存在這樣的直線EF，a的值為；

（3）K點的位置不發(fā)生變化．

理由：如圖2中，過點Q作QC⊥x軸，設(shè)PA＝m，

∵∠POB＝∠PCQ＝∠BPQ＝90°，

∴∠OPB+∠QPC＝90°，∠QPC+∠PQC＝90°，

∴∠OPB＝∠PQC，

∵PB＝PQ，

∴△BOP≌△PCQ（AAS），

∴BO＝PC＝6，OP＝CQ＝6+m，

∴AC＝QC＝6+m，

∴∠QAC＝∠OAK＝45°，

∴OA＝OK＝6，

∴K（0，﹣6）．