Question

【題目】如圖,正方形ABCD邊長(zhǎng)為1,以AB為直徑作半圓,點(diǎn)P是CD中點(diǎn),BP與半圓交于點(diǎn)Q,連接DQ.給出如下結(jié)論:

①DQ=1;②=;③S△PDQ=;④cos ∠ADQ=.其中正確結(jié)論是____.(填寫序號(hào))

Answer 1

【答案】①②④

【解析】（1）如圖1，連接OQ、OD，由題中條件易證四邊形OBPD是平行四邊形，從而可得DO∥PB，結(jié)合OQ=OB可證得∠AOD=∠QOD，從而可證△AOD≌△QOD，所以DQ=AE=1，故①成立；

（2）如圖2，連接AQ，由已知易得CP=，由勾股定理可得BP，再證△ABQ∽△BPC，由相似三角形的性質(zhì)可求得BQ=，從而可得PQ=PB-BQ=，所以，故②成立；

（3）如圖3，過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥CD于點(diǎn)H，易證△PQH∽△PBC，由相似三角形的性質(zhì)結(jié)合（2）中結(jié)論可解得QH=，從而可得S△DPQ=DPQH=，故③錯(cuò)誤；

（4）如圖4，過(guò)點(diǎn)Q作QN⊥AD于點(diǎn)N，則易得AB∥NQ∥DP，由平行線分線段成比例定理可得：，即，解得DN=，所以cos ∠ADQ=.故④正確；

綜上所述，正確的結(jié)論是① ② ④ .