【題目】如圖,在平面直角坐標系中,拋物線y=﹣x2﹣2ax與x軸相交于O、A兩點,OA=4,點D為拋物線的頂點,并且直線y=kx+b與該拋物線相交于A、B兩點,與y軸相交于點C,B點的橫坐標是﹣1.
(1)求k,a,b的值;
(2)若P是直線AB上方拋物線上的一點,設P點的橫坐標是t,△PAB的面積是S,求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式,并直接寫出自變量t的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,當PB∥CD時,點Q是直線AB上一點,若∠BPQ+∠CBO=180°,求Q點坐標.
【答案】(1)k=1、a=2、b=4;(2)s=﹣t2﹣ t﹣6,自變量t的取值范圍是﹣4<t<﹣1;(3)Q(﹣,)
【解析】
(1)根據(jù)題意可得A(-4,0)代入拋物線解析式可得a,求出拋物線解析式,根據(jù)B的橫坐標可求B點坐標,把A,B坐標代入直線解析式,可求k,b
(2)過P點作PN⊥OA于N,交AB于M,過B點作BH⊥PN,設出P點坐標,可求出N點坐標,即可以用t表示S.
(3)由PB∥CD,可求P點坐標,連接OP,交AC于點R,過P點作PN⊥OA于M,交AB于N,過D點作DT⊥OA于T,根據(jù)P的坐標,可得∠POA=45°,由OA=OC可得∠CAO=45°則PO⊥AB,根據(jù)拋物線的對稱性可知R在對稱軸上.設Q點坐標,根據(jù)△BOR∽△PQS,可求Q點坐標.
(1)∵OA=4
∴A(﹣4,0)
∴﹣16+8a=0
∴a=2,
∴y=﹣x2﹣4x,當x=﹣1時,y=﹣1+4=3,
∴B(﹣1,3),
將A(﹣4,0)B(﹣1,3)代入函數(shù)解析式,得,
解得,
直線AB的解析式為y=x+4,
∴k=1、a=2、b=4;
(2)過P點作PN⊥OA于N,交AB于M,過B點作BH⊥PN,如圖1,
由(1)知直線AB是y=x+4,拋物線是y=﹣x2﹣4x,
∴當x=t時,yP=﹣t2﹣4t,yN=t+4
PN=﹣t2﹣4t﹣(t+4)=﹣t2﹣5t﹣4,
BH=﹣1﹣t,AM=t﹣(﹣4)=t+4,
S△PAB=PN(AM+BH)=(﹣t2﹣5t﹣4)(﹣1﹣t+t+4)=(﹣t2﹣5t﹣4)×3,
化簡,得s=﹣t2﹣ t﹣6,自變量t的取值范圍是﹣4<t<﹣1;
∴﹣4<t<﹣1
(3)y=﹣x2﹣4x,當x=﹣2時,y=4即D(﹣2,4),當x=0時,y=x+4=4,即C(0,4),
∴CD∥OA
∵B(﹣1,3).
當y=3時,x=﹣3,
∴P(﹣3,3),
連接OP,交AC于點R,過P點作PN⊥OA于M,交AB于N,過D點作DT⊥OA于T,如圖2,
可證R在DT上
∴PN=ON=3
∴∠PON=∠OPN=45°
∴∠BPR=∠PON=45°,
∵OA=OC,∠AOC=90°
∴∠PBR=∠BAO=45°,
∴PO⊥AC
∵∠BPQ+∠CBO=180,
∴∠BPQ=∠BCO+∠BOC
過點Q作QS⊥PN,垂足是S,
∴∠SPQ=∠BOR∴tan∠SPQ=tan∠BOR,
可求BR=,OR=2,
設Q點的橫坐標是m,
當x=m時y=m+4,
∴SQ=m+3,PS=﹣m﹣1
∴,解得m=﹣.
當x=﹣時,y=,
Q(﹣,).
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【題目】已知拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A(﹣1,0)、B(3,0)兩點.
(1)請求出拋物線的解析式;
(2)當0<x<4時,請直接寫出y的取值范圍.
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【題目】如圖,⊙M交x軸于A(﹣1,0),B(3,0)兩點.交y軸于C(0,3),D(0,1)兩點.
(1)求點M的坐標;
(2)求弧BD的長.
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【題目】如圖所示,幸福小區(qū)C位于快遞站點B的北偏東35°方向,沁苑小區(qū)D位于B的南偏東55°方向,無人機以1千米/分鐘的速度配送快遞時,從B到C需飛行8分鐘,從B到D需飛行15分鐘.若無人機的配送路線是B→C→D→B請求出配送途中飛行所需時間.
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【題目】某地一路段修建,甲隊單獨完成這項工程需要60天,若由甲隊先做5天,再由甲、乙兩隊合作9天,共完成這項工程的三分之一.
(1)求甲、乙兩隊合作完成這項工程需要多少天?
(2)若甲隊的工作效率提高20%,乙隊工作效率提高50%,甲隊施工1天需付工程款4萬元,乙隊施工一天需付工程款2.5萬元,現(xiàn)由甲乙兩隊合作若干天后,再由乙隊完成剩余部分,在完成此項工程的工程款不超過190萬元的條件下要求盡早完成此項工程,則甲、乙兩隊至多要合作多少天?
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【題目】如圖所示,在中,,,以A為圓心,任意長為半徑畫弧分別交AB、AC于點M和N再分別以MN為圓心,大于的長為半徑畫弧,兩弧交于點P,連接AP并延長交BC于點D,則下列說法中正確的有________.
①AD是的平分線;②;③點D在AB的中垂線上;④
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【題目】二次函數(shù)(a、b、c為常數(shù)且a≠0)中的x與y的部分對應值如下表:
x | ﹣3 | ﹣2 | ﹣1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
y | 12 | 5 | 0 | ﹣3 | ﹣4 | ﹣3 | 0 | 5 | 12 |
給出了結(jié)論:
(1)二次函數(shù)有最小值,最小值為﹣3;
(2)當時,y<0;
(3)二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點,且它們分別在y軸兩側(cè).
則其中正確結(jié)論的個數(shù)是
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
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【題目】如圖,△ABC是等邊三角形,AB=3,E在AC上且AE=AC,D是直線BC上一動點,線段ED繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)900,得到線段EF,當點D運動時,則線段AF的最小值是_______
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【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,斜邊AB=2,O是AB的中點,以O為圓心,線段OC的長為半徑畫圓心角為90°的扇形OEF,弧EF經(jīng)過點C,則圖中陰影部分的面積為________.
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